東京大学 1996年度
理系数学 第5問

解答

時刻 $t$ に水面は $z=f(t)$ まで上昇している。容器の断面積は $\pi R^2$ だから，水面上昇によって増えた水面下の体積は $\pi R^{2}f(t)$ である。

一方，回転体は毎秒1の速さで下に動くので，時刻 $t$ では移動前の高さ $z$ にあった点が高さ $z-t$ に移っている。この点が水面下にある条件は $z-t\leqq f(t)$ すなわち $z\leqq t+f(t)$ である。回転体はもともと $z\geqq 0$ にあるので，時刻 $t$ に水面下に入っている部分は，移動前の高さで $0\leqq z\leqq t+f(t)$ にあたる部分である。

高さ $z$ における回転体の断面積は $\pi r(z{)}^2$ である。したがって押しのけた体積は $\pi {\int }_0^{t+f(t)}r(z{)}^{2}dz$ であり，体積のつり合いから ${\int }_0^{t+f(t)}r(z{)}^{2}dz=R^{2}f(t)$ が成り立つ。

ここで $f(t)=e^t-t-1$ だから $t+f(t)=e^t-1$ である。$u=e^t-1$ とおくと $t=\log (1+u)$ であり，$f(t)=u-\log (1+u)$ となる。したがってすべての $u\geqq 0$ について ${\int }_0^{u}r(z{)}^{2}dz=R^2\{u-\log (1+u)\}$ である。

両辺を $u$ で微分すると，連続性より $r(u{)}^2=R^2\left(1-\frac{1}{1+u}\right)=R^2\frac{u}{1+u}$ を得る。$r(u)\geqq 0$ であるから $r(u)=R\sqrt{\frac{u}{1+u}}$ である。文字を $z$ に戻すと $r(z)=R\sqrt{\frac{z}{1+z}}(z\geqq 0)$ となる。

この関数は $r(0)=0$ を満たし，$z\geqq 0$ で $0\leqq \frac{z}{1+z}<1$ だから $0\leqq r(z)<R$ も満たす。よってこれが求める関数である。

別解。上の体積の式に $f(t)=e^t-t-1$ を代入すると ${\int }_0^{e^t-1}r(z{)}^{2}dz=R^2(e^t-t-1)$ である。両辺を直接 $t$ で微分すると $r(e^t-1{)}^2{e}^t=R^2(e^t-1)$ となる。$z=e^t-1$ とおけば $e^t=1+z$ なので $r(z{)}^2=R^2\frac{z}{1+z}$ となり，同じ結果を得る。