問題
，の二人がじゃんけんをして，グーで勝てば3歩，チョキで勝てば5歩，パーで勝てば6歩進む遊びをしている。1回のじゃんけんでの進む歩数からの進む歩数を引いた値の期待値をとする。
(1) がグー，チョキ，パーを出す確率がすべて等しいとする。がどのような確率で，グー，チョキ，パーを出すとき，の値は最大となるか。
(2) がグー，チョキ，パーを出す確率の比がであるとする。がどのような確率でグー，チョキ，パーを出すならば，任意の，，に対し，となるか。
方針
まずAが各手を出したとき，Bの各手に対する得失を表にする。(1)ではBが等確率なので，Aがグー・チョキ・パーを固定して出した場合の期待値を比較すればよい。混ぜて出す場合の期待値はその重みつき平均なので，最大の手だけを確率1で出すのが最適である。(2)ではBの比 が任意なので，Bがどの手に偏っても期待値が負にならないよう，Bの各手に対応するA側の平均得失をすべて0以上にする。この連立不等式と確率の和が1であることから一意に決める。
解答
(1)
Aが出す手を固定して，Bがグー，チョキ，パーを等確率で出す場合の期待値を比べる。
Aがグーを出すとき，Bがグーなら0，チョキならAが3歩進み，パーならBが6歩進む。したがって期待値は である。
Aがチョキを出すとき，BがグーならBが3歩進み，チョキなら0，パーならAが5歩進む。したがって期待値は である。
Aがパーを出すとき，BがグーならAが6歩進み，チョキならBが5歩進み，パーなら0である。したがって期待値は である。
Aが確率を混ぜて出すときの期待値は，これら3つの値の重みつき平均である。最大の値は なので，Aはチョキを確率1で出せばよい。すなわち である。
(2)
Aがグー，チョキ，パーを出す確率をそれぞれ とする。もちろん である。
Bがグーを出したとき，A側の得失の平均は である。Bがチョキを出したときは であり，Bがパーを出したときは である。
Bの確率の比 が任意であるから，常に となるためには，Bの各手に対する上の3つの平均がすべて0以上であることが必要であり，また十分である。よって である。これは と同値である。
これらをつなげると である。したがってすべて等号でなければならない。よって である。さらに だから となり， である。したがって を得る。
以上より，求める確率は
である。