東京大学 1992年度理系数学第4問解答・解説

問題

$x y z$ 空間において， $x$ 軸に平行な柱面

A = {(x, y, z) ∣ y^{2} + z^{2} = 1, x, y, z は実数}

から， $y$ 軸と平行な柱面

B = {(x, y, z) ∣ x^{2} - 3 x z + z^{2} = \frac{1}{4}, x, y, z は実数}

により囲まれる部分を切り抜いた残りの図形を $C$ とする。図形 $C$ の展開図をえがけ。ただし点 $(0, 1, 0)$ を通り $x$ 軸と平行な直線に沿って $C$ を切り開くものとする。

出典：東京大学 1992年度前期日程第2次学力試験理系第4問

方針

柱面 $A$ は半径1の円柱なので，展開するために $y = cos θ$ ， $z = sin θ$ とおく。切り開く直線 $(x, 1, 0)$ は $θ = 0$ と $θ = 2 π$ の端に対応する。柱面 $B$ の方程式へ $z = sin θ$ を代入すると $x$ の2次方程式になり，境界は $x = sin (θ + π /6)$ と $x = sin (θ - π /6)$ で表される。展開図では，横軸を $x$ ，縦軸を $θ$ とする帯から，この2曲線の間を取り除く。

解答

柱面 $A$ 上の点を $y = cos θ, z = sin θ$ と表す。点 $(0, 1, 0)$ を通り $x$ 軸と平行な直線に沿って切り開くので，展開図では $0 ≦ θ ≦ 2 π$ を縦方向の座標とし，横方向の座標を $x$ とすればよい。上下の辺 $θ = 0$ ， $θ = 2 π$ は，もとの切り口の両側に対応する。

次に柱面 $B$ との交線を求める。 $z = sin θ$ を $B$ の方程式へ代入すると $x^{2} - 3 x sin θ + sin^{2} θ = \frac{1}{4}$ である。これを $x$ について解くと $x = \frac{3 s i n θ + c o s θ}{2}$ または $x = \frac{3 s i n θ - c o s θ}{2}$ である。すなわち

x = sin (θ + \frac{π}{6}), x = sin (θ - \frac{π}{6})

である。 $cos θ < 0$ のところでは2つの根の大小は入れ替わるが，境界となる2曲線はこの2本である。

したがって展開図は，横軸 $x$ ，縦軸 $θ$ の無限に長い帯 $0 ≦ θ ≦ 2 π$ から，2曲線

x = sin (θ + \frac{π}{6}), x = sin (θ - \frac{π}{6})

にはさまれる部分を切り抜いた図形である。2曲線は $θ = π /2$ ， $3 π /2$ で接し，その前後で左右が入れ替わる。実際に描くと，幅 $2 π$ の帯の中に，位相が $π /3$ だけずれた2本の正弦曲線を描き，その間を空白として残りを $C$ の展開図とすればよい。

東京大学 1992年度理系数学 第4問

問題

方針

解答

東京大学 1992年度
理系数学第4問