問題
，を正の実数とする。座標空間の4点，，，が半径1の同一球面上にあるとき，，，，を頂点とする四面体に内接する球の半径をとすれば，次の二つの不等式が成り立つことを示せ。
出典：東京大学 1992年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第3問
方針
まず4点が半径1の同一球面上にある条件を使う。 の位置から球の中心は と分かり，半径条件から が出る。次に四面体の体積と4つの面積を座標で求め， により を で表す。残りは とおき， から を使って，平方根を含む項と をそれぞれ下から評価する。
解答
4点 が同一球面上にあるとする。 と から，球の中心の 座標は である。同様に， と から 座標は ， と から 座標は である。よって中心は である。半径が1であるから，中心から までの距離について が成り立つ。したがって である。
四面体 の体積は，底面 の面積が ，高さが であるから である。
4つの面の面積を求める。 の面積は ， の面積は である。また
である。よって表面積を とすると である。
内接球の半径を とすると，四面体の体積は各面を底面とする4つの三角錐の体積の和だから である。したがって であり， を得る。
ここで とおく。示すべき1つ目の不等式は である。 とおくと， より である。また であり，
である。よって である。 から なので である。すなわち
が成り立つ。
次に2つ目を示す。 であるから である。 より右辺は を満たす。したがって である。また1つ目で示した評価から である。よって であり， が示された。