問題
平面において，曲線
上の点を出発し，この曲線上を進む点がある。出発してから秒後のの速度の大きさはに等しく，の成分はつねに正または0であるとする。
(1) 出発してから秒後のの位置をとして，との間の関係式を求めよ。
(2) がベクトルと平行になるのは出発してから何秒後か。
出典：東京大学 1992年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第5問
方針
点は曲線上を動くので，出発点から現在位置までの道のりを曲線の長さで表す。 を求めると， が平方になり，弧長要素が に簡単化する。速度の 成分が常に正または0なので， は1から増加する向きに動く。速さが だから道のりは である。(2)は速度の向きが接線方向であることから，接線の傾きが になる を求め，(1)へ代入する。
解答
(1)
曲線は であるから である。したがって弧長要素は
である。根号内を整理すると
であるから， では
となる。
速度の 成分は常に正または0なので， は出発時の から増加する向きに動く。よって出発点から までの道のりは
である。
一方，速さは であるから，出発してから 秒までの道のりは である。したがって求める関係式は である。
(2)
速度ベクトルは曲線の接線方向を向く。 の 成分は非負であるから， と平行になるためには接線の傾きが であればよい。よって を解く。 とおくと であり， を得る。これを因数分解すると である。 だから である。
(1)の関係式に を代入すると である。したがって であり， だから 秒後である。