問題
は1より大きい定数とし，平面上の点を，点を，曲線と軸の交点をとする。さらに軸，線分および曲線で囲まれた部分の面積をとする。
(1) となるに対し点をとする。四辺形の面積がにもっとも近くなるようなの値と，そのときの四辺形の面積を求めよ。
(2) のときのの極限値を求めよ。
出典：東京大学 1992年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第1問
方針
まず を求める。四辺形 は，，，， を結んだ図形なので，面積 は2つの台形の和で表せる。 のグラフでは弦が曲線の下側にあるため， であり， に最も近づけることは を最大にすることと同じである。微分で最適な を求め，最後は を基準にして比の極限を調べる。
解答
(1)
曲線 と 軸の交点は である。したがって である。
次に四辺形 の面積を求める。 から ，， と進むので，面積は2つの台形の和として である。整理すると である。 は上に凸の曲線であるから，曲線上の2点を結ぶ線分は曲線の下側にある。したがって であり， に最も近い は， が最大となるときに得られる。
微分すると である。したがって臨界点は である。また について が成り立つので であり，この値は許された範囲に入る。さらに はこの点の前で正，後で負となるので，ここで最大である。
よって求める は であり，そのとき
である。
(2)
上で求めた式から
である。分母は と同じ大きさで増大する。
分子の中で である。これを で割ると
である。また である。したがって分子全体は と同じ大きさになり， である。