問題
空間内の点 に対して，4点 ，，， を
をみたすようにとるとき，四面体 の体積の最大値を求めよ。
出典：東京大学 1988年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第6問
方針
平面 を固定して考える。 は半径4の球面上にあるため、平面 と球の交わりは円になり、その円に内接する三角形の面積は正三角形のとき最大である。平面が から距離 だけ と反対側にあるとき、底面積は で決まり、高さは高々 である。よって1変数 の最大化に帰着する。
解答
点 を原点とし、 である。四面体 の底面を三角形 と見て考える。
平面 が点 から距離 の位置にあるとする。ただし である。3点 はいずれも を中心とする半径 の球面上にあるので、平面 とこの球面の交わりは半径 の円である。
この円の上に3点 を取るとき、三角形 の面積は、円に内接する正三角形のとき最大になる。その最大面積は、外接円半径 の正三角形の面積なので である。
次に高さを考える。平面 から点 までの距離は、平面が と反対側にあるとき最大となり、その最大値は である。したがって、どのように を取っても体積 は
を満たす。逆に、平面を と反対側に取り、その円周上で を正三角形にすれば、この上限は実現できる。
よって の最大値を求めればよい。微分すると である。したがって は すなわち である。範囲 にある解は である。端点では であり、 だから、最大は のときである。
したがって最大体積は である。
補足。最大となる配置では、平面 は から距離 だけ と反対側にあり、その平面と半径4の球の交円上で が正三角形を作る。この配置で底面積と高さの両方の上限が同時に実現される。