東京大学 1988年度
理系数学 第2問

解答

一辺の長さが $1$ の正四面体を考える。各面は一辺 $1$ の正三角形なので、1つの面の面積は $A=\frac{\sqrt{3}}{4}$ である。

正四面体を対称に置くと、4つの面に垂直な単位方向は

としてよい。射影する方向を単位ベクトル $u=(l,m,n),l^2+m^2+n^2=1$ とする。

1つの面の正射影の面積は、もとの面積に、面に垂直な方向と $u$ のなす角の余弦の絶対値を掛けたものになる。また、凸な多面体では、全ての面の射影面積を足すと、正射影された図形を表側と裏側から1回ずつ数えるため、求める面積の2倍になる。したがって正射影の面積 $S$ は $S=\frac{1}{2}A\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}\{|l+m+n|+|l-m-n|+|-l+m-n|+|-l-m+n|\}$ である。すなわち $S=\frac{1}{8}L$ ただし $L=|l+m+n|+|l-m-n|+|-l+m-n|+|-l-m+n|$ である。

ここで $A_1=l+m+n,A_2=l-m-n,A_3=-l+m-n,A_4=-l-m+n$ とおくと $A_1+A_2+A_3+A_4=0$ であり、また $A_1^2+A_2^2+A_3^2+A_4^2=4(l^2+m^2+n^2)=4$ である。

まず上限を求める。コーシーの不等式より $L^2\leqq 4(A_1^2+A_2^2+A_3^2+A_4^2)=16$ なので $L\leqq 4$ である。したがって $S\leqq \frac{1}{2}$ である。等号は、たとえば $u=(1,0,0)$ のとき $(A_1,A_2,A_3,A_4)=(1,1,-1,-1)$ となって成立する。よって最大値は $\frac{1}{2}$ である。

次に下限を求める。$A_1,A_2,A_3,A_4$ の正のものの和を $P$ とすると、全体の和が0であるから、負のものの絶対値の和も $P$ であり、$L=2P$ である。正の数たちの平方和は高々 $P^2$、負の数たちの平方和も高々 $P^2$ なので $4=A_1^2+A_2^2+A_3^2+A_4^2\leqq 2P^2$ である。したがって $P\geqq \sqrt{2},L=2P\geqq 2\sqrt{2}$ となる。よって $S\geqq \frac{\sqrt{2}}{4}$ である。

等号は、たとえば $u=\left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}},0\right)$ のとき $(A_1,A_2,A_3,A_4)=(\sqrt{2},0,0,-\sqrt{2})$ となって成立する。よって最小値は $\frac{\sqrt{2}}{4}$ である。

以上より、求める最大値と最小値は $\text{最大値 }\frac{1}{2},\text{最小値 }\frac{\sqrt{2}}{4}$ である。