問題
曲線 ， を平行移動した曲線を考える。点 を通る平行移動のうち，もとの と共有点をちょうど1個だけもつものがちょうど3個あるような点 の範囲を求めよ。
方針
点 を通る平行移動を、横方向の移動量 で表す。移動後の曲線と元の曲線の共有点は2次方程式で決まり、共有点がちょうど1個になるのは、許された区間内で2次式が接するときである。この接触条件は の3次方程式 になるので、許される範囲 内にその解がちょうど3個ある条件を、極大・極小の符号と端点の符号から読み取る。
解答
点 を とおく。元の曲線を とする。
平行移動の横方向の移動量を 、縦方向の移動量を とする。移動後の曲線は であり、この曲線が を通るためには でなければならない。また、点 が移動後のもとの区間に対応するため、 すなわち が必要である。
元の曲線と移動後の曲線の共有点は で決まる。左辺から右辺を引いた式を とおく。 のとき、これは の2次式である。共有点として許される の範囲は、 のとき であり、 のとき である。
この2次式の軸は である。さらに、 のときは区間の両端 で の値が等しく、 のときも区間の両端 で値が等しい。したがって共有点がちょうど1個になるのは、区間内で接する場合、すなわち のときである。
代入して整理すると、この条件は と書ける。ただし である。よって、求める問題は、区間 内に の解がちょうど3個ある条件を求めることに帰着される。
微分すると である。したがって のとき、 で極大、 で極小となる。3個の実数解をもつためには が必要十分である。ここで だから である。
さらに3つの解が許された区間 に入る必要がある。端点での値は および である。左端より右で最初の解を持つには 右端より左で最後の解を持つには であればよい。したがって の場合は かつ である。
次に の場合は、変換 により の場合と対称である。したがって求める範囲は、次の2領域の和集合である。
または
端点条件から出る2本の境界は含むが、極大値・極小値が0となって解が重なる境界 、 は含まない。