問題
空間において， 平面上の で表される図形を 軸のまわりに回転して得られる不透明な立体を とする。 の表面上 座標 のところにひとつの点光源 がある。
平面上の原点を中心とする円 の， からの光が当たっている部分の長さが であるとき， のかげの部分の長さを求めよ。
方針
回転体は で表される放物面状の立体である。光源は対称性により に置ける。光と影の境界は、光源で立体に接する平面と 平面との交線になるので、まず接平面を求める。円 の照らされる部分は直線 の右側の弧になり、弧長条件から半径と中心角を決め、影の弧長を出す。
解答
立体 は、 軸からの距離を とすると で表される。 の表面上では である。回転対称性により、光源を としてよい。
表面は である。点 における接平面を求める。 の 方向の傾きは 、 方向の傾きは なので、点 では である。したがって接平面は である。この平面と 平面 との交線は である。
この直線が、 平面上で光が当たる部分とかげの部分の境界になる。実際、点 へ向かう線分は立体の内部を通るので光は届かず、十分右側の点へ向かう線分は接平面の外側を通るので光が届く。よって円 上で光が当たるのは の側の弧である。
円 の半径を とする。光が当たる弧の中心角の半分を とおくと、境界点では である。また、光が当たる部分の弧長が なので すなわち である。
第1式から であり、これを に代入すると となる。関数 は で増加するので、解は高々1つである。実際 は
を満たす。したがって である。
円周全体の長さは であり、そのうち光が当たる部分の長さが である。よって、かげの部分の長さは である。
補足。境界を作るのは、点光源を通る接平面である。接平面と床面の交線 を先に出せば、残りは円と直線で切られる弧長の問題になる。