問題
正六角形の頂点に1から6までの番号を順につける．また個のサイコロを振り，出た目を番号とするすべての頂点にしるしをつけるものとする．このとき，しるしのついた三点を頂点とする直角三角形が存在する確率をとする．
(1) ，を求めよ．
(2) を求めよ．
方針
正六角形の円周上の3点が直角三角形を作るのは、その3点の中に対頂点の組が含まれるときである。ただし、印が2点以下では三角形を作れない。(1)では を順序付きの出目として数える。(2)では余事象、つまり直角三角形が存在しない場合を考える。指数的に最も大きく残るのは、3組の対頂点から高々1点ずつ選んだ3点集合の中に全出目が入る場合であり、比率は になる。
解答
正六角形の頂点は同一円周上にある。円周上の3点でできる三角形が直角三角形になるのは、3点のうち2点が対頂点、すなわち直径の両端になっているときである。したがって、印のついた頂点の集合が対頂点の組を含み、かつ印のついた頂点が3点以上あれば、直角三角形が存在する。
(1)
まず を数える。3回の出目で直角三角形ができるには、3つの出目がすべて異なり、その中に対頂点の組が1組含まれればよい。対頂点の組は3通り、残りの1点はその組以外の4点から選べる。さらに3個の出目の順序があるので、条件を満たす出方は 通りである。全体は 通りだから である。
次に を数える。全体は 通りである。直角三角形が存在しない場合を数える。印のついた頂点が1点だけの場合は 通り、2点だけの場合は、2点の選び方が 通りで、それぞれ4回の出目が両方を少なくとも1回ずつ含むので 通りである。印が3点以上で直角三角形が存在しないためには、3組の対頂点から高々1点ずつ選ばれていなければならない。3点ちょうどの場合、各対頂点の組から1点ずつ選ぶので集合は 通りあり、4回の出目がその3点すべてを含む出方は 通りである。したがって余事象の数は である。よって条件を満たす出方は 通りであり、 である。
(2)
は、直角三角形が存在しない確率である。直角三角形が存在しないためには、印のついた頂点集合が対頂点の組を含まないか、印のついた頂点が2点以下でなければならない。
出目がすべて、対頂点を同時に含まない3点集合の中に入る場合を考える。3組の対頂点から1点ずつ選ぶと、そのような3点集合は 通りあり、それぞれについて出目がその3点内にすべて入る確率は である。したがって は定数倍を除いて の大きさで下からも上からも評価できる。
実際、ある固定した、対頂点を含まない3点集合にすべての出目が入る場合は余事象に含まれるので である。一方、余事象では、印が3点以上なら出目全体は対頂点を含まない8通りの3点集合のいずれかに入り、印が2点以下なら15通りの2点集合のいずれかに入る。和事象の確率で上から評価して
である。よって
である。 とすると両端が に近づくから である。