問題
空間内の点を中心とする半径1の球面がある．
上の点が条件，，のもとで上を動くとき，においてに接する平面をとし，が軸，軸，軸と交わる点をそれぞれ，，とする．このような三角形の面積の最小値を求めよ．
出典：東京大学 1987年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第3問
方針
球面の接平面を、半径 を法線にもつ平面として求める。軸との切片を出したら、三角形 の面積を直接計算する代わりに、四面体 の体積と、原点から接平面までの距離を使う。固定した では のもとで を最大にすると面積が最小になる。最後は の1変数不等式に帰着する。
解答
球面 は である。点 はこの球面上にあるので を満たす。また条件より である。 における接平面 は、半径方向のベクトル を法線にもつ。したがって である。これを整理し、 を用いると となる。
この平面と各軸との交点は
である。四面体 の体積は
である。一方、原点から平面 までの距離は、法線ベクトルの長さが1であるため である。したがって より を得る。
ここで であり、 だから である。固定した に対して である。等号は のときである。よって
である。
あとは の最小値を求めればよい。逆数を考えると である。 に対して であり、等号は のときである。したがって であり、 である。等号は 、かつ のときに成り立つ。よって面積の最小値は である。