東京大学 1987年度理系数学第1問解答・解説

問題

行列 $A = (a b - b a)$ の表す $x y$ 平面の一次変換が，直線 $y = 2 x + 1$ を直線 $y = - 3 x - 1$ へうつすとする．点 $P (1, 2)$ がうつる点を $Q$ とし，原点を $O$ とするとき，二直線 $O P$ と $O Q$ のなす角の大きさを求めよ．

出典：東京大学 1987年度前期日程第2次学力試験理系第1問

方針

与えられた行列は原点を中心とする拡大回転型の1次変換であるが、まずは直線上の2点を使って $a, b$ を決める。直線 $y = 2 x + 1$ 上の点 $(0, 1), (1, 3)$ の移る先が、直線 $y = - 3 x - 1$ 上にある条件を立てる。 $a, b$ が決まれば $P (1, 2)$ の移る点 $Q$ を計算し、内積で $∠ P O Q$ を求める。

解答

直線 $y = 2 x + 1$ 上の2点 $(0, 1), (1, 3)$ を考える。1次変換は直線を直線に移すので、この2点の移る先が直線 $y = - 3 x - 1$ 上にあればよい。

点 $(0, 1)$ は $(- b, a)$ に移る。これが $y = - 3 x - 1$ 上にあるから $a = - 3 (- b) - 1 = 3 b - 1$ である。

点 $(1, 3)$ は $(a - 3 b, b + 3 a)$ に移る。これも $y = - 3 x - 1$ 上にあるので $b + 3 a = - 3 (a - 3 b) - 1$ である。整理すると $6 a - 8 b + 1 = 0$ である。 $a = 3 b - 1$ を代入して $6 (3 b - 1) - 8 b + 1 = 0$ より $10 b - 5 = 0$ となる。したがって $a = b = \frac{1}{2}$ である。

点 $P (1, 2)$ の移る点 $Q$ は

Q = (\frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot 2, \frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot 2) = (- \frac{1}{2}, \frac{3}{2})

である。よって

O P = (1, 2), O Q = (- \frac{1}{2}, \frac{3}{2})

であり、

O P \cdot O Q = 1 \cdot (- \frac{1}{2}) + 2 \cdot \frac{3}{2} = \frac{5}{2}

である。また $∣ O P ∣ = 5, ∣ O Q ∣ = \frac{10}{4} = \frac{10}{2}$ だから

cos ∠ P O Q = \frac{\frac{5}{2}}{5 \cdot \frac{10}{2}} = \frac{1}{2}

である。したがって求める角は $\frac{π}{4}$ である。

東京大学 1987年度理系数学 第1問

問題

方針

解答

東京大学 1987年度
理系数学第1問