東京大学 1987年度理系数学第4問解答・解説

問題

$x y z$ 空間において，点 $P$ は $y z$ 平面上の放物線 $z = 1 - y^{2}$ 上にあるとする．点 $A (1, 0, 1)$ と $P$ を結ぶ直線を $x$ 軸のまわりに回転して得られる曲面と二平面 $x = 0$ ， $x = 1$ とによって囲まれる部分の体積を $V$ とする． $V$ を $P$ の $y$ 座標で表せ．また $V$ の最小値を求めよ．

出典：東京大学 1987年度前期日程第2次学力試験理系第4問

方針

$P$ の $y$ 座標を $u$ とおくと $P = (0, u, 1 - u^{2})$ である。線分 $A P$ 上の点を $x$ 座標で表し、 $x$ 軸のまわりに回転したときの断面半径の2乗を $y^{2} + z^{2}$ として積分する。最後は得られた $V = \frac{π}{3} (u^{4} - 2 u^{2} + 3)$ を平方完成して最小値を読む。

解答

点 $P$ の $y$ 座標を $u$ とおく。 $P$ は $y z$ 平面上の放物線 $z = 1 - y^{2}$ 上にあるから $P = (0, u, 1 - u^{2})$ である。

点 $A (1, 0, 1)$ と $P$ を結ぶ線分上で、 $x$ 座標が $x$ の点を考える。 $0 ≦ x ≦ 1$ に対して、この点は $(x, (1 - x) u, 1 - (1 - x) u^{2})$ である。これを $x$ 軸のまわりに回転すると、 $x$ で切った断面は円であり、その半径の2乗は $(1 - x)^{2} u^{2} + {1 - (1 - x) u^{2}}^{2}$ である。

したがって体積は $V = π \int_{0}^{1} [(1 - x)^{2} u^{2} + {1 - (1 - x) u^{2}}^{2}] d x$ である。 $s = 1 - x$ と見て計算すると

\frac{V}{π} = \int_{0}^{1} {s^{2} u^{2} + (1 - s u^{2})^{2}} d s = \int_{0}^{1} {1 - 2 s u^{2} + s^{2} (u^{4} + u^{2})} d s = 1 - u^{2} + \frac{u ^{4} + u ^{2}}{3} = \frac{1}{3} (u^{4} - 2 u^{2} + 3) .

よって $V = \frac{π}{3} (u^{4} - 2 u^{2} + 3)$ である。ここで $u$ は $P$ の $y$ 座標である。

さらに $u^{4} - 2 u^{2} + 3 = (u^{2} - 1)^{2} + 2$ だから、最小値は $u^{2} = 1$ のときにとり、 $V_{m i n} = \frac{2 π}{3}$ である。

東京大学 1987年度理系数学 第4問

問題

方針

解答

東京大学 1987年度
理系数学第4問