問題
点を点にうつす平行移動によって曲線を移動して得られる曲線をとする．と曲線，が接するような，を座標とする点の存在する範囲の概形を図示せよ．
また，この二曲線が接する点以外に共有点を持たないような，の値を求めよ．ただし，二曲線がある点で接するとは，その点で共通の接線を持つことである．
出典：東京大学 1987年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第2問
方針
平行移動後の放物線は である。接点を 、 とおき、値の一致と接線の傾きの一致を立てて を で表す。存在範囲はこの媒介変数表示の曲線であり、、、 の挙動を押さえて概形を描く。接点以外の共有点の有無は、共有点を与える3次方程式を で割った残りの根で判定する。
解答
平行移動後の放物線 は である。 と が で接するとする。ただし である。
値が一致する条件は である。また傾きが一致する条件は である。後者より であり、これを前者に代入すると となる。したがって存在範囲は
で表される曲線である。
概形を確認する。 では 、 である。 では であり、 では 、 である。また
なので、 で は最小、 は最大になる。したがって曲線は右下から上がって に達し、その後、右へ下がりながら に近づく。
次に、接点以外の共有点を調べる。共有点の 座標は を満たす。上で得た を代入すると と因数分解される。 は接点なので重解であり、残りの共有点の候補は である。接点以外に共有点を持たないためには、この根が接点の 座標と一致すればよい。すなわち である。 より となる。よって である。