東京大学 1986年度
理系数学 第6問

解答

(1)

円錐の頂点を原点，中心軸を $z$ 軸，ふちを含む平面を $z=1$ とする。最初に水が満ちているときの水面の円は $z=1$，$x^2+y^2=1$ であり，円錐は $x^2+y^2=z^2(0\leqq z\leqq 1)$ で表せる。

傾けた後の水面は，ふちの最も低い点 $(0,1,1)$ を通り，ふちの平面 $z=1$ に対する傾きが $m=\tan \alpha$ であるから $z=m(y-1)+1$ とおける。水面が楕円である場合を考えているので $0\leqq m<1$ である。

円錐の式にこの平面の式を代入すると $x^2+y^2=\{m(y-1)+1{\}}^2$ である。整理して平方完成すると $\frac{1+m}{1-m}{x}^2+(1+m{)}^2{\left(y-\frac{m}{1+m}\right)}^2=1$ を得る。これは水面の楕円を $xy$ 平面に落として見た式であり，その中心の $y$ 座標は $m/(1+m)$ である。このとき中心の $z$ 座標は $z=m\cdot \frac{m}{1+m}+1-m=\frac{1}{1+m}$ だから，ふちを含む平面 $z=1$ までの距離は $l=1-\frac{1}{1+m}=\frac{m}{1+m}$ である。

楕円の半径を求める。$x$ 方向の半径は，平面上でもそのまま $\sqrt{\frac{1-m}{1+m}}$ である。一方，$y$ 方向へ $\Delta y$ だけ動くと，水面上では $z$ 方向へ $m\Delta y$ だけ動くので，実際の長さは $\sqrt{1+m^2}|\Delta y|$ である。上の式から $y$ 方向の半径は $1/(1+m)$ だから，水面上での半径は $\frac{\sqrt{1+m^2}}{1+m}$ である。$m>0$ ではこちらの方が大きいので

である。$m=0$ のときはどちらも $1$ で，同じ式でよい。

(2)

頂点から新しい水面までの距離は，原点から平面 $z-my-(1-m)=0$ までの距離であるから $h=\frac{1-m}{\sqrt{1+m^2}}$ である。したがって

となる。

最初の水の量は半径 $1$，高さ $1$ の円錐の体積なので $\pi /3$ である。こぼれた量がその半分であるから，残った水の量も $\pi /6$ である。問題文の公式より $\frac{1}{3}\pi abh=\frac{\pi }{6}$ なので ${\left(\frac{1-m}{1+m}\right)}^{3/2}=\frac{1}{2}$ である。両辺を $2/3$ 乗して $\frac{1-m}{1+m}=\frac{1}{\sqrt[3]{4}}$ を得る。よって $\sqrt[3]{4}(1-m)=1+m$ であり，$m=\frac{\sqrt[3]{4}-1}{\sqrt[3]{4}+1}$ である。