問題
平面において，座標が不等式，，をみたすような点の作る集合をとする．三点，，を頂点とし，に含まれる三角形はどのような場合に面積が最大となるか．また面積の最大値を求めよ．ただし，，とする．
出典：東京大学 1986年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第1問
方針
点 を へ移すため，， とおく。この変換では で領域 が保たれ，面積も変わらない。あとは ，， として，三角形が に入る条件を辺上で調べる。最後に面積 を で最大化し，元の に戻す。
解答
なので とおく。このとき であるから，領域 は のままである。また変換の面積倍率は なので，面積は変わらない。
この座標では と書ける。まず三角形が領域内に入る条件を求める。
辺 上の点を とおくと， である。これが常に 以下であるための条件は である。実際， なら を十分小さく正に取ると となり， なら上の式の からの増加分は正にならない。
同様に，辺 が領域内に入る条件は である。さらに辺 上では と書けるので， である。内部については，三角形を水平線 で切ると，その切り口上では が とともに増える。したがって各切り口で最大になる点は境界上にあり， では積は である。よって境界を調べれば三角形全体の条件として十分であり，結局 が必要十分条件である。
このとき面積 は である。 では だから となる。ここで ， なので， が最大になるのは のときである。したがって であり，最大面積は である。
元の変数に戻すと，最大となるのは に対して の場合である。