問題
二次方程式の係数，，が，それぞれ次の範囲を動くものとする．
(1) このとき，を座標とする点の動く範囲を定め，図示せよ．
(2) 上の二次方程式の二つの解のうち，大きい方をとする．，，が上の範囲を動くときの，の最大値，最小値を求めよ．
出典：東京大学 1986年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第4問
方針
(1)は ， と置いたとき，同じ が三つの範囲を同時に満たす必要があることを不等式で表す。存在する の区間の交わりから， の範囲， の範囲，および比 の範囲を得て六角形として図示する。(2)は大きい解 を用い， を大きく， を小さくすると最大，逆にすると最小になることを確認して端点で計算する。
解答
(1)
， であるから，ある が存在して
を同時に満たせばよい。すなわち
が条件である。
この条件を見やすく整理する。まず の範囲と の範囲から を得る。同様に の範囲と の範囲から を得る。さらに であり， と の範囲から を得る。逆に，これら三組の条件を満たせば，対応する の三つの区間は互いに交わるので，実際に係数 を選べる。したがって求める領域は
である。
図示するなら， 平面で直線 の間にあり，かつ上の縦横の範囲に入る部分である。頂点は順に
である。
(2)
判別式に当たる量は，範囲全体で
であるから，二つの実数解をもつ。大きい方の解は である。
この式を見ると， を大きくすると分子の も根号内も大きくなるので は大きくなる。 を大きくすると根号内が小さくなるので は小さくなる。 を大きくすると根号内が小さくなり，さらに分母も大きくなるので，やはり は小さくなる。したがって最大値は で生じ，最小値は で生じる。
最大値は
である。最小値は
である。