東京大学 1986年度理系数学第5問解答・解説

問題

ベンチが $k + 1$ 個一列に並べてあり， $A$ ， $B$ の二人が次のようなゲームをする．最初 $A$ は左端， $B$ は右端のベンチにおり，じゃんけんをして勝った方が他の端に向って一つ隣りのベンチに進み，負けた方は動かないとする．また二人が同じ手を出して引き分けとなったときには，二人とも動かないとする．こうしてじゃんけんを繰返して早く他の隣のベンチに着いた者を勝ちとする．一回のじゃんけんで， $A$ が勝つ確率，負ける確率，引き分けとなる確率はすべて等しいとき，次の確率を求めよ．

(1) $n$ 回じゃんけんをした後に，二人が同じベンチに座っている確率 $q$

(2) $n$ 回じゃんけんをしたとき， $A$ ， $B$ の移動回数がそれぞれ $x$ 回， $y$ 回である確率 $p (x, y)$

(3) $k = 3$ のとき $n$ 回のじゃんけんの後に，まだゲームの勝敗がきまらない確率 $p$ ，ただし $n ≧ 3$ とする．

出典：東京大学 1986年度前期日程第2次学力試験理系第5問

方針

各回を「 $A$ が進む」「 $B$ が進む」「引き分け」の三通りとして数える。一方の移動回数が $k$ に達した時点で終わるので、端点では第 $n$ 回に決着する条件を別に扱う。(3)は $k = 3$ で未決着、すなわち $X, Y ≦ 2$ を合計する。

解答

各回の $A$ の勝ち、 $B$ の勝ち、引き分けの確率は各 $1/3$ とする。第 $n$ 回までに $A, B$ が進んだ回数を $X, Y$ と書く。 $X = k$ または $Y = k$ でゲームは終わる。

(1)

二人が同じベンチにいる条件は $X + Y = k$ である。 $1 ≦ X ≦ k - 1$ なら、 $n$ 回から勝負のつく $k$ 回を選び、両者に少なくとも一勝ずつ割り振るから $_{n} C_{k} (2^{k} - 2)$ 通りである。

$(X, Y) = (k, 0)$ では第 $n$ 回が $A$ の $k$ 勝目なので $_{n - 1} C_{k - 1}$ 通り、 $(0, k)$ も同数である。よって

q = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{_{n} C _{k} ( 2 ^{k} - 2 ) + 2 _{n - 1} C _{k - 1}}{3 ^{n}} = \frac{_{n} C _{k} 2 ^{k} - 2 _{n - 1} C _{k}}{3 ^{n}} 0 (n ≧ k), (n < k) .

(2)

$0 ≦ x, y < k$ 、 $x + y ≦ n$ のときは未決着なので

p (x, y) = \frac{n !}{3 ^{n} x ! y ! ( n - x - y )!} .

$x = k$ 、 $0 ≦ y < k$ 、 $k + y ≦ n$ なら第 $n$ 回が $A$ の勝ちであるから

p (k, y) = \frac{( n - 1 )!}{3 ^{n} ( k - 1 )! y ! ( n - k - y )!} .

同様に、 $0 ≦ x < k$ 、 $y = k$ 、 $x + k ≦ n$ なら

p (x, k) = \frac{( n - 1 )!}{3 ^{n} x ! ( k - 1 )! ( n - x - k )!} .

これら以外では $p (x, y) = 0$ である。

(3)

$k = 3$ で未決着となるのは $X, Y ≦ 2$ のときである。(2)より

p = x = 0 \sum 2 y = 0 \sum 2 \frac{n !}{3 ^{n} x ! y ! ( n - x - y )!},

ただし負の階乗を含む項は $0$ とする。展開すると

3^{n} p = 1 + 2 n + 2 n (n - 1) + n (n - 1) (n - 2) + \frac{n ( n - 1 ) ( n - 2 ) ( n - 3 )}{4} .

したがって、 $n ≧ 3$ に対して

p = \frac{n ^{4} - 2 n ^{3} + 7 n ^{2} + 2 n + 4}{4 \cdot 3 ^{n}} .

東京大学 1986年度理系数学 第5問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

東京大学 1986年度
理系数学第5問