東京大学 1986年度理系数学第2問解答・解説

問題

長軸，短軸の長さがそれぞれ4，2である楕円に囲まれた領域を $A$ とし，この楕円の短軸の方向に， $A$ を $\frac{1}{2} (6 - 2)$ だけ平行移動してできる領域を $B$ とする．このとき $A$ と $B$ の共通部分 $C = A \cap B$ の面積 $M$ を求めよ．ただし $\frac{1}{4} (6 + 2) = cos \frac{π}{12}$ である．
注：方程式 $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ $(a > 0, b > 0)$ で表される楕円において， $2 a$ ， $2 b$ の内大きい方を長軸の長さといい，他方を短軸の長さという．

出典：東京大学 1986年度前期日程第2次学力試験理系第2問

方針

楕円の長半径を $2$ ，短半径を $1$ とし，短軸方向を $y$ 軸に取る。 $X = x /2$ で単位円二つの共通部分へ直し，面積倍率が $2$ であることを忘れない。単位円の共通部分は，二つの等しい円弧で囲まれるレンズ形として，扇形から二等辺三角形を引いて求める。与えられた三角比から角度を $5 π /12$ と読み替える。

解答

楕円を $\frac{x ^{2}}{4} + y^{2} ≦ 1$ で表し，短軸方向，すなわち $y$ 軸方向へ $d = \frac{1}{2} (6 - 2)$ だけ平行移動したものを考えればよい。

ここで $X = \frac{x}{2}, Y = y$ とおくと，楕円は単位円 $X^{2} + Y^{2} ≦ 1$ になる。面積は $x$ 方向に $2$ 倍されているので，元の面積は単位円の場合の $2$ 倍である。平行移動の距離は $Y$ 方向なのでそのまま $d$ である。

中心間距離が $d$ の二つの単位円の共通部分を求める。二つの交点を結ぶ弦は中心を結ぶ線分の中点を通るので，半径と中心線のなす角 $θ$ は $cos θ = \frac{d}{2}$ を満たす。単位円一つ分の円弧部分は，中心角 $2 θ$ の扇形から二等辺三角形を引いた面積である。したがって単位円二つの共通部分の面積 $L$ は

L = 2 (θ - \frac{1}{2} sin 2 θ) = 2 θ - \frac{d}{2} 4 - d^{2}

である。

ここで $\frac{d}{2} = \frac{6 - 2}{4} = sin \frac{π}{12}$ だから $θ = arccos \frac{d}{2} = \frac{5 π}{12}$ である。また

d^{2} = 2 - 3, 4 - d^{2} = 2 + 3 = \frac{6 + 2}{2}

より

\frac{d}{2} 4 - d^{2} = \frac{6 - 2}{4} \cdot \frac{6 + 2}{2} = \frac{1}{2}

である。したがって $L = 2 \cdot \frac{5 π}{12} - \frac{1}{2} = \frac{5 π}{6} - \frac{1}{2}$ となる。

元の楕円の面積はこの $2$ 倍なので，求める面積は $M = 2 L = \frac{5 π}{3} - 1$ である。

東京大学 1986年度理系数学 第2問

問題

方針

解答

東京大学 1986年度
理系数学第2問