東北大学 2016年度理系数学前期第6問解答・解説

問題

関数

f (x) = \int_{0}^{π} ∣ sin (t - x) - sin 2 t ∣ d t

の区間 $0 ≦ x ≦ π$ における最大値と最小値を求めよ。

出典：東北大学 2016年度前期日程第2次学力試験理系前期第6問

方針

絶対値の中身を $g (t) = sin (t - x) - sin 2 t$ とおき，和積公式で符号を調べる。 $0 ≦ x ≦ π$ ， $0 ≦ t ≦ π$ では $sin ((t + x) /2) ≧ 0$ なので，符号変化は $cos ((3 t - x) /2) = 0$ から決まる。分点 $r = (π + x) /3$ で積分を分割し，原始関数を用いて $f (x)$ を1つの三角関数に整理する。最後は角 $2 x /3 + π /6$ の範囲で最大・最小を読む。

解答

$g (t) = sin (t - x) - sin 2 t$ とおく。和積公式より

g (t) = 2 cos \frac{( t - x ) + 2 t}{2} sin \frac{( t - x ) - 2 t}{2} = - 2 sin \frac{t + x}{2} cos \frac{3 t - x}{2}

である。 $0 ≦ x ≦ π$ ， $0 ≦ t ≦ π$ では $sin \frac{t + x}{2} ≧ 0$ である。したがって $g (t)$ の符号は主に $- cos \frac{3 t - x}{2}$ で決まる。区間 $0 ≦ t ≦ π$ で符号が変わる点は $\frac{3 t - x}{2} = \frac{π}{2}$ すなわち $r = \frac{π + x}{3}$ である。実際， $0 ≦ x ≦ π$ より $\frac{π}{3} ≦ r ≦ \frac{2 π}{3}$ なので $r$ は積分区間内にある。 $0 ≦ t < r$ では $g (t) ≦ 0$ ， $r < t ≦ π$ では $g (t) ≧ 0$ であるから $f (x) = - \int_{0}^{r} g (t) d t + \int_{r}^{π} g (t) d t$ である。ここで $\int g (t) d t = - cos (t - x) + \frac{1}{2} cos 2 t$ である。これを用いると

f (x) = - [- cos (t - x) + \frac{1}{2} cos 2 t]_{0}^{r} + [- cos (t - x) + \frac{1}{2} cos 2 t]_{r}^{π} = 2 cos (r - x) - cos x - cos (π - x) - cos 2 r + \frac{1}{2} cos 2 π + \frac{1}{2} cos 0

である。 $cos (π - x) = - cos x$ ， $cos 2 π = cos 0 = 1$ より $f (x) = 2 cos (r - x) - cos 2 r + 1$ である。 $r = (π + x) /3$ なので $r - x = \frac{π - 2 x}{3}, 2 r = \frac{2 π + 2 x}{3}$ である。整理すると $f (x) = 3 sin (\frac{2 x}{3} + \frac{π}{6}) + 1$ となる。 $0 ≦ x ≦ π$ のとき $\frac{π}{6} ≦ \frac{2 x}{3} + \frac{π}{6} ≦ \frac{5 π}{6}$ である。この範囲で $sin$ の最大値は1で， $\frac{2 x}{3} + \frac{π}{6} = \frac{π}{2}$ すなわち $x = \frac{π}{2}$ のときである。したがって最大値は $3 \cdot 1 + 1 = 4$ である。

またこの範囲で $sin$ の最小値は端点での $1/2$ である。したがって最小値は $3 \cdot \frac{1}{2} + 1 = \frac{5}{2}$ であり，そのとき $x = 0, π$ である。

東北大学 2016年度理系数学 前期 第6問

問題

方針

解答

東北大学 2016年度
理系数学前期第6問