問題
以下の問いに答えよ。
(1) 6以上の整数に対して不等式
が成り立つことを数学的帰納法により示せ。
(2) 等式
を満たす素数の組をすべて求めよ。
出典：東北大学 2016年度 前期日程 第2次学力試験 理系 前期 第2問
方針
(1)はを起点にし，帰納法の仮定からを得る。残りはをで確認する。(2)はまず偶奇を見る。両方が奇素数なら左辺と右辺の差が偶数になり7に等しくないので，一方が2である。との場合を分け，(1)で大きい素数を排除し，小さい素数は直接確認する。
解答
(1)
のとき なので である。
次に，あるで が成り立つと仮定する。このとき である。ここで だから である。したがって が成り立つ。数学的帰納法により，すべての6以上の整数に対して である。
(2)
より である。
もしがともに奇素数なら，もも奇数であり，差は偶数になる。これは7に等しくない。したがっての少なくとも一方は2である。
まずとする。このとき である。では，では，では である。ならは6以上なので，(1)より となり，等号は成り立たない。よってこの場合は だけである。
次にとする。このとき である。では不適であり，についても である。なら(1)より となるため，は成り立たない。したがって新しい解はない。
以上より，求める素数の組は である。