問題
空間内に，直線で交わる2平面と交線上の1点がある。さらに，平面上の直線と平面上の直線を，どちらも点を通りに垂直にとる。上にそれぞれ点があり，
であるとする。線分上の動点について，とおく。点を中心とした半径の球を考える。このとき，以下の問いに答えよ。
(1) の平面による切り口の面積をを用いて表せ。
(2) の平面による切り口の面積との平面による切り口の面積の和をとおく。が線分上を動くとき，の最大値と，そのときのの値を求めよ。
出典：東北大学 2016年度 前期日程 第2次学力試験 理系 前期 第5問
方針
はどちらも交線に垂直なので，のなす角が2平面のなす角になる。三角形に余弦定理を使ってこの角を求める。点は上で，だから，各平面までの距離は線分上で一次的に変化する。(1)は球の半径と平面までの距離から切り口の面積を使う。(2)は2つの切り口面積の和を2次関数にして最大化する。
解答
(1)
はいずれもに垂直であり，それぞれ平面上にある。したがってのなす角は2平面のなす角である。
三角形において である。とすると，余弦定理より だから である。よって である。
点は平面上にある。点から平面までの距離は，に対して角の反対側の高さなので である。は上で，だから，から平面までの距離は である。
半径の球を，中心から距離の平面で切ると，切り口の円の半径の2乗は である。ここではなので，切り口の面積は である。
(2)
今度は平面までの距離を考える。点は平面上にあり，点から平面までの距離は である。なので，から平面までの距離は である。
したがって
である。ここでである。
平方完成すると
である。はに含まれるので，最大値は であり，そのとき である。