東北大学 2016年度理系数学前期第4問解答・解説

問題

多項式 $P (x)$ を

P (x) = \frac{( x + i ) ^{7} - ( x - i ) ^{7}}{2 i}

により定める。ただし， $i$ は虚数単位とする。以下の問いに答えよ。

(1) $P (x) = a_{0} x^{7} + a_{1} x^{6} + a_{2} x^{5} + a_{3} x^{4} + a_{4} x^{3} + a_{5} x^{2} + a_{6} x + a_{7}$ とするとき，係数 $a_{0}, \dots, a_{7}$ をすべて求めよ。

(2) $0 < θ < π$ に対して，

P (\frac{cos θ}{sin θ}) = \frac{sin 7 θ}{sin ^{7} θ}

が成り立つことを示せ。

(3) (1)で求めた $a_{1}, a_{3}, a_{5}, a_{7}$ を用いて，多項式 $Q (x) = a_{1} x^{3} + a_{3} x^{2} + a_{5} x + a_{7}$ を考える。 $θ = \frac{π}{7}$ として， $k = 1, 2, 3$ について

x_{k} = \frac{cos ^{2} k θ}{sin ^{2} k θ}

とおく。このとき， $Q (x_{k}) = 0$ が成り立つことを示し， $x_{1} + x_{2} + x_{3}$ の値を求めよ。

出典：東北大学 2016年度前期日程第2次学力試験理系前期第4問

方針

(1)は二項定理で奇数番目の $i$ を含む項だけが残ることを利用する。(2)は $x = cot θ$ とおき， $x \pm i = (cos θ \pm i sin θ) / sin θ$ として，ド・モアブルの形で $sin 7 θ$ を取り出す。(3)では $P (x)$ が偶関数なので $P (x) = Q (x^{2})$ と見て， $x_{k} = cot^{2} k θ$ が $Q$ の根であることを示し，解と係数の関係で和を求める。

解答

(1)

二項定理より $(x + i)^{7} - (x - i)^{7}$ では， $i$ の偶数乗を含む項は打ち消し合い，奇数乗を含む項だけが残る。したがって

P (x) = \frac{1}{2 i} {2 \cdot_{7} C_{1} x^{6} i + 2 \cdot_{7} C_{3} x^{4} i^{3} + 2 \cdot_{7} C_{5} x^{2} i^{5} + 2 \cdot_{7} C_{7} i^{7}} = 7 x^{6} - 35 x^{4} + 21 x^{2} - 1

である。よって

a_{0} = 0, a_{1} = 7, a_{2} = 0, a_{3} = - 35, a_{4} = 0, a_{5} = 21, a_{6} = 0, a_{7} = - 1

である。

(2)

$0 < θ < π$ なので $sin θ > 0$ である。 $x = \frac{cos θ}{sin θ}$ とおくと

x + i = \frac{cos θ + i sin θ}{sin θ}, x - i = \frac{cos θ - i sin θ}{sin θ}

である。したがって

P (\frac{cos θ}{sin θ}) = \frac{1}{2 i} \cdot \frac{( cos θ + i sin θ ) ^{7} - ( cos θ - i sin θ ) ^{7}}{sin ^{7} θ} = \frac{sin 7 θ}{sin ^{7} θ}

である。

(3)

(1)より $Q (x) = 7 x^{3} - 35 x^{2} + 21 x - 1$ であり，また $P (X) = Q (X^{2})$ である。 $θ = \frac{π}{7}$ とする。 $k = 1, 2, 3$ では $0 < k θ < π$ であり，(2)を $k θ$ に適用できる。すると

P (\frac{cos k θ}{sin k θ}) = \frac{sin 7 k θ}{sin ^{7} k θ} = \frac{sin k π}{sin ^{7} k θ} = 0

である。左辺は

P (\frac{cos k θ}{sin k θ}) = Q (\frac{cos ^{2} k θ}{sin ^{2} k θ}) = Q (x_{k})

であるから $Q (x_{k}) = 0$ である。 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ は正の数であり， $k = 1, 2, 3$ に対して互いに異なる。3次方程式 $7 x^{3} - 35 x^{2} + 21 x - 1 = 0$ の3つの根が $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ なので，解と係数の関係より $x_{1} + x_{2} + x_{3} = - \frac{- 35}{7} = 5$ である。

東北大学 2016年度理系数学 前期 第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

東北大学 2016年度
理系数学前期第4問