問題
サイコロを3回振って出た目の数をそれぞれ順にとする。以下の問いに答えよ。
(1) がある直角三角形の3辺の長さとなる確率を求めよ。
(2) がある鈍角三角形の3辺の長さとなる確率を求めよ。
出典：東北大学 2016年度 前期日程 第2次学力試験 理系 前期 第3問
方針
サイコロは順序付きに数えるが，三角形の判定は3つの目を小さい順に並べて行う。(1)はからまでの整数辺でピタゴラスの関係を満たす組を探す。(2)は三角形条件と鈍角条件を満たす組を列挙し，等しい辺の有無に応じて順列数を数える。
解答
(1)
3つの目を小さい順に と並べる。直角三角形の3辺になるには を満たす必要がある。でこれを満たす三角形の組は だけである。
サイコロの3回の出方は順序付きなので，の並べ方は 通りである。全事象は 通りだから，求める確率は である。
(2)
同じくとする。鈍角三角形になる条件は である。では三角形にならないか鈍角にならない。について調べると，条件を満たす組は である。
このうち3辺がすべて異なるものは5組あり，それぞれ通りの順序がある。また2辺が等しいものは の3組であり，それぞれ3通りの順序がある。したがって有利な出方は 通りである。よって求める確率は である。
別解。 を最大辺として固定すると，で，で，で，でが残る。これを順序付きに戻しても同じく39通りとなる。