東北大学 2016年度後期・理系数学後期第6問解答・解説

問題

以下の問いに答えよ。

(1) $n$ を正の整数として，次の定積分を求めよ。

\int_{0}^{2 π} x^{2} cos n x d x

(2) 次の積分値 $I$ を最小にする実数 $a$ の値と，その最小値を求めよ。

I = \int_{0}^{2 π} (x^{2} - a cos 2 x)^{2} d x

出典：東北大学 2016年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第6問

方針

(1)は部分積分を2回行い， $sin 2 nπ = 0$ ， $cos 2 nπ = 1$ を使って境界項を整理する。(2)は積分を $a$ の2次式として展開し，(1)で $n = 2$ の場合の $\int x^{2} cos 2 x d x$ を使う。さらに $\int cos^{2} 2 x d x$ と $\int x^{4} d x$ を求め，平方完成で最小値とそのときの $a$ を出す。

解答

(1)

$J_{n} = \int_{0}^{2 π} x^{2} cos n x d x$ とおく。部分積分を行うと

J_{n} = [\frac{x ^{2} sin n x}{n}]_{0}^{2 π} - \frac{2}{n} \int_{0}^{2 π} x sin n x d x

である。 $sin 2 nπ = 0$ なので第1項は0である。

さらに

\int_{0}^{2 π} x sin n x d x = [- \frac{x cos n x}{n}]_{0}^{2 π} + \frac{1}{n} \int_{0}^{2 π} cos n x d x

である。ここで $[- \frac{x c o s n x}{n}]_{0}^{2 π} = - \frac{2 π}{n}$ であり， $\int_{0}^{2 π} cos n x d x = [\frac{s i n n x}{n}]_{0}^{2 π} = 0$ である。したがって $\int_{0}^{2 π} x sin n x d x = - \frac{2 π}{n}$ である。よって $J_{n} = - \frac{2}{n} (- \frac{2 π}{n}) = \frac{4 π}{n ^{2}}$ である。

(2)

積分を展開すると

I = \int_{0}^{2 π} x^{4} d x - 2 a \int_{0}^{2 π} x^{2} cos 2 x d x + a^{2} \int_{0}^{2 π} cos^{2} 2 x d x

である。

(1)で $n = 2$ とすると $\int_{0}^{2 π} x^{2} cos 2 x d x = \frac{4 π}{4} = π$ である。また $cos^{2} 2 x = \frac{1 + c o s 4 x}{2}$ なので $\int_{0}^{2 π} cos^{2} 2 x d x = π$ である。さらに

\int_{0}^{2 π} x^{4} d x = [\frac{x ^{5}}{5}]_{0}^{2 π} = \frac{32 π ^{5}}{5}

である。

したがって $I = \frac{32 π ^{5}}{5} - 2 π a + π a^{2}$ である。平方完成すると $I = π (a - 1)^{2} + \frac{32 π ^{5}}{5} - π$ である。よって $I$ を最小にする実数 $a$ は $a = 1$ であり，その最小値は $\frac{32 π ^{5}}{5} - π$ である。

別解。(2)は $a$ を変数とする2次関数の最小問題である。積分値をすべて数値化したあと，係数 $π > 0$ を確認すれば，下に凸なので平方完成だけで最小が決まる。

東北大学 2016年度後期・理系数学 後期 第6問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東北大学 2016年度
後期・理系数学後期第6問