問題
平面上の点を中心とする半径1の円周上に相異なる個の点があって，各 に対して
を満たす，が存在するとする。このときは6の倍数であることを示せ。
出典：東北大学 2016年度 後期日程 第2次学力試験 後期・理系 後期 第1問
方針
各点を原点からの単位ベクトルとして見る。で3本すべてが単位ベクトルなら，からとのなす角がと分かる。このときはを中心に左右回転した方向である。したがって与えられた点集合は回転で閉じており，円周上の各軌道が6点からなるため，点の総数は6の倍数になる。
解答
点に対応する単位ベクトルを とする。仮定より，あるが存在して である。ここで とおくと，はいずれも長さ1のベクトルであり を満たす。
両辺の長さの2乗を取ると
である。したがって であり，とのなす角はである。
2つの単位ベクトルの和は，との角の二等分線方向を向く。なす角がなので，とはの方向からそれぞれずれた方向にある。つまり，を中心のまわりに回転したベクトルと，回転したベクトルが，どちらも与えられた点集合に含まれる。
以上は任意のについて成り立つ。したがって，点集合は中心の回転で閉じている。
円周上の1点をずつ回転すると，元の点に戻るまでに 個の相異なる点が現れる。途中で戻ることは，の回転で同じ点になることを意味するが，半径1の円周上では起こらない。よって点集合は6個ずつの組に分かれる。
したがって点の総数は6の倍数である。
別解。各点を複素数で表すと，である。，なら，三角形の形からとは偏角の複素数になる。結局，集合が回転で閉じていることに帰着する。