問題
平面において曲線 と軸との交点を，とし，軸との交点を，原点をとする。このとき，以下の問いに答えよ。
(1) この曲線の第1象限の部分に，と異なる点を四角形の面積が最大となるようにとる。このとき，の座標とその最大値を求めよ。
(2) この曲線上に，，と異なる2点，を任意にとる。これら5点で作られる五角形の面積の最大値を求めよ。
出典：東北大学 2016年度 後期日程 第2次学力試験 後期・理系 後期 第4問
方針
(1)は第1象限の点をとおき，四角形の面積を靴紐公式または三角形の和でと表す。これを最大化する。(2)は三角形を基準にし，右側弧に点を1つ加える面積増分と，左側弧に点を1つ加える面積増分を独立に最大化する。各増分は(1)の最大値から三角形の面積1を引いたものになる。
解答
(1)
第1象限の曲線上の点を とおく。四角形の頂点を の順に見ると，面積は である。
ここで を最大にする。で微分すると である。これが0となるのは すなわち のときである。このとき であり，面積の最大値は である。よって である。
(2)
三角形の面積は である。
曲線の右側の弧上に点を1つ加えると，三角形のかわりに四角形を使うことになり，面積の増分は である。であり，(1)よりの最大値はだから，右側で得られる最大増分は である。
左側の弧についても，図形は軸に関して対称なので，同じく最大増分は である。したがって5点で作られる五角形の面積の最大値は である。
この最大値は，右側と左側にそれぞれ(1)と対称な位置の点を取れば実現できる。