東北大学 2016年度後期・理系数学後期第5問解答・解説

問題

$z$ ， $w$ を相異なる複素数で $z$ の虚部は正， $w$ の虚部は負とする。このとき，以下の問いに答えよ。

(1) 1， $z$ ， $- 1$ ， $w$ が複素数平面の同一円周上にあるための必要十分条件は

\frac{( 1 + w ) ( 1 - z )}{( 1 - w ) ( 1 + z )}

が負の実数となることであることを示せ。

(2) $z = x + y i$ が $x < 0$ と $y > 0$ を満たすとする。1， $z$ ， $- 1$ ， $\frac{1 + z ^{2}}{2}$ が複素数平面の同一円周上にあるとき，複素数 $z$ の軌跡を求めよ。

出典：東北大学 2016年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第5問

方針

(1)は4点が同一円周上にある条件を，弦 $1, - 1$ を見込む角の等しさとして偏角で表す。向き付き角を使うと，与えられた複素数比が実数で，さらに負であることに対応する。(2)は $w = (1 + z^{2}) /2$ を代入し， $z = x + y i$ として比の虚部が0になる条件を計算する。 $y > 0$ より円 $(x - 1)^{2} + y^{2} = 4$ が得られ，負の実数になる条件から $- 1 < x < 0$ を加える。

解答

(1)

4点 $1, z, - 1, w$ を考える。 $z$ の虚部は正， $w$ の虚部は負なので， $z$ と $w$ は実軸をはさんで反対側にある。

4点が同一円周上にあることは，弦 $1, - 1$ を見込む角が等しいことと同値である。複素数の偏角で書くと，これは $ar g \frac{z - 1}{z + 1} \equiv ar g \frac{w - 1}{w + 1} (mod π)$ と表せる。ただし $z$ と $w$ は弦 $1, - 1$ の反対側にあるので，対応する向き付き角は反対向きになり，比は正ではなく負の実数になる。

上の式を変形すると $\frac{z - 1}{z + 1} \cdot \frac{w + 1}{w - 1}$ が負の実数であることと同値である。分子分母に $- 1$ を掛けて整理すれば $\frac{( 1 + w ) ( 1 - z )}{( 1 - w ) ( 1 + z )}$ が負の実数であることと同値である。したがって必要十分条件が示された。

(2)

$w = \frac{1 + z ^{2}}{2}, z = x + y i$ とおく。 $x < 0, y > 0$ である。(1)の比を $R = \frac{( 1 + w ) ( 1 - z )}{( 1 - w ) ( 1 + z )}$ とおく。 $R$ が実数である条件を調べるため，分子を分母の共役と掛け合わせて虚部を0にする。

計算すると， $R$ の虚部が0である条件は $2 y {x^{2} - 2 x + y^{2} - 3} {x^{2} - 2 x + y^{2} + 1} = 0$ となる。ここで $y > 0$ であり， $x^{2} - 2 x + y^{2} + 1 = (x - 1)^{2} + y^{2} > 0$ だから $x^{2} - 2 x + y^{2} - 3 = 0$ でなければならない。すなわち $(x - 1)^{2} + y^{2} = 4$ である。

次に，この条件のもとで $R$ が負の実数になる範囲を求める。上の円の条件を用いて $R$ の実部の符号を調べると，分母の絶対値の2乗は正であり，符号は $x (x + 1)$ の符号と一致する。 $x < 0$ なので，これが負になるのは $- 1 < x < 0$ のときである。

したがって求める軌跡は $(x - 1)^{2} + y^{2} = 4, - 1 < x < 0, y > 0$ で表される円弧である。端点 $x = - 1$ では比が負にならず， $x = 0$ は条件 $x < 0$ に反するため含まない。

別解。(2)では，まず候補が円 $(x - 1)^{2} + y^{2} = 4$ に乗ることを出し，その後に代表点を取って比の符号を確認してもよい。ただし円全体ではなく， $x < 0, y > 0$ かつ負の実数条件を満たす部分だけを残す必要がある。

東北大学 2016年度後期・理系数学 後期 第5問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東北大学 2016年度
後期・理系数学後期第5問