東北大学 2016年度後期・理系数学後期第2問解答・解説

問題

あるウイルスの感染拡大について次の仮定で試算を行う。このウイルスの感染者は感染してから1日の潜伏期間をおいて，2日後から毎日2人の未感染者にこのウイルスを感染させるとする。新たな感染者1人が感染源となった $n$ 日後の感染者数を $a_{n}$ 人とする。たとえば，1日後は感染者は増えず $a_{1} = 1$ で，2日後は2人増えて $a_{2} = 3$ となる。以下の問いに答えよ。

(1) $a_{n + 2}$ ， $a_{n + 1}$ ， $a_{n}$ $(n = 1, 2, 3, \dots)$ の間に成り立つ関係式を求めよ。

(2) 一般項 $a_{n}$ を求めよ。

(3) 感染者数が初めて1万人を超えるのは何日後か求めよ。

出典：東北大学 2016年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第2問

方針

$a_{n}$ は感染源となった人から始まる累計感染者数である。 $n + 2$ 日後には， $n + 1$ 日後までの感染者に加えて， $n$ 日後までに感染していた人がそれぞれ2人ずつ新たに感染させるので， $a_{n + 2} = a_{n + 1} + 2 a_{n}$ となる。一般項は，得られた式を帰納法で確認してもよいし， $a_{n + 1} + a_{n}$ が2倍されることから導いてもよい。(3)は公式に $n = 13, 14$ を代入して，初めて1万人を超える日を確認する。

解答

(1)

$n + 2$ 日後の感染者数を考える。 $n + 1$ 日後までの感染者は $a_{n + 1}$ 人である。

また， $n$ 日後までに感染していた $a_{n}$ 人は， $n + 2$ 日後までには感染から2日以上経っており，それぞれ2人ずつ新たに感染させる。したがって新たに増える人数は $2 a_{n}$ である。よって $a_{n + 2} = a_{n + 1} + 2 a_{n} (n = 1, 2, 3, \dots)$ である。

(2)

初期値は問題文より $a_{1} = 1, a_{2} = 3$ である。ここで $b_{n} = a_{n + 1} + a_{n}$ とおくと，(1)より

b_{n + 1} = a_{n + 2} + a_{n + 1} = (a_{n + 1} + 2 a_{n}) + a_{n + 1} = 2 (a_{n + 1} + a_{n}) = 2 b_{n}

である。 $b_{1} = a_{2} + a_{1} = 4$ だから $b_{n} = 4 \cdot 2^{n - 1} = 2^{n + 1}$ である。すなわち $a_{n + 1} + a_{n} = 2^{n + 1}$ が成り立つ。

この関係から $a_{n + 1} = 2^{n + 1} - a_{n}$ である。これを用いると，次の式が成り立つことを帰納法で確認できる： $a_{n} = \frac{2 ^{n + 1} + ( - 1 ) ^{n}}{3}$ 実際， $n = 1$ では $\frac{2 ^{2} - 1}{3} = 1 = a_{1}$ であり，この式が $n$ で成り立つとすると

a_{n + 1} = 2^{n + 1} - \frac{2 ^{n + 1} + ( - 1 ) ^{n}}{3} = \frac{2 ^{n + 2} - ( - 1 ) ^{n}}{3} = \frac{2 ^{n + 2} + ( - 1 ) ^{n + 1}}{3}

となる。よってすべての $n$ で $a_{n} = \frac{2 ^{n + 1} + ( - 1 ) ^{n}}{3}$ である。

(3)

(2)の公式より $a_{13} = \frac{2 ^{14} - 1}{3} = \frac{16384 - 1}{3} = 5461$ であり，まだ1万人を超えない。一方 $a_{14} = \frac{2 ^{15} + 1}{3} = \frac{32768 + 1}{3} = 10923$ であり，1万人を超える。したがって感染者数が初めて1万人を超えるのは $14 日後$ である。

東北大学 2016年度後期・理系数学 後期 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

東北大学 2016年度
後期・理系数学後期第2問