東北大学 2014年度
後期・理系数学 後期 第6問

解答

(1)

曲線 $C$ 上では

である。直線 $l:2x-\sqrt{3}y=0$ との交点では $2\tan t-\sqrt{3}\frac{1}{\cos t}=0$ である。$0\leqq t<\pi /2$ では $\cos t>0$ なので、両辺に $\cos t$ をかけて $2\sin t=\sqrt{3}$ を得る。したがって $\sin t=\frac{\sqrt{3}}{2}$ であり、範囲より $t=\frac{\pi }{3}$ である。このとき $x=\tan \frac{\pi }{3}=\sqrt{3},y=\frac{1}{\cos (\pi /3)}=2$ である。よって交点は $\boxed{(\sqrt{3},2)}$ である。

(2)

曲線 $C$ について $y^2=\frac{1}{{\cos }^{2}t}=1+{\tan }^{2}t=1+x^2$ である。さらに $0\leqq t<\pi /2$ では $y>0$、$x\geqq 0$ なので $y=\sqrt{1+x^2}(x\geqq 0)$ である。

直線 $l$ は $y=\frac{2}{\sqrt{3}}x$ である。交点の $x$ 座標は $\sqrt{3}$ で、$0\leqq x\leqq \sqrt{3}$ では曲線の方が直線より上にある。したがって求める面積 $S$ は $S={\int }_0^{\sqrt{3}}\left(\sqrt{1+x^2}-\frac{2}{\sqrt{3}}x\right)dx$ である。

まず

である。

次に ${\int }_0^{\sqrt{3}}\sqrt{1+x^2}dx$ を求める。$x=\tan t$ とおくと、$x=0$ のとき $t=0$、$x=\sqrt{3}$ のとき $t=\pi /3$ であり $dx=\frac{1}{{\cos }^{2}t}dt,\sqrt{1+x^2}=\frac{1}{\cos t}$ である。よって ${\int }_0^{\sqrt{3}}\sqrt{1+x^2}dx={\int }_0^{\pi /3}\frac{1}{{\cos }^{3}t}dt$ である。この積分を計算すると

である。したがって ${\int }_0^{\sqrt{3}}\sqrt{1+x^2}dx=\sqrt{3}+\frac{1}{2}\log (2+\sqrt{3})$ となる。

よって面積は

である。