問題
を自然数とする。次の連立不等式が表す平面の領域をとする。
に含まれ，座標，座標ともに整数である点の個数をとする。
(1) を求めよ。
(2) をを用いて表せ。
(3) を求めよ。
(4) の面積をとする。次の極限値を求めよ。
出典：東北大学 2014年度 後期日程 第2次学力試験 後期・理系 後期 第3問
方針
整数点を数えるには、各整数 に対して許される整数 の個数を数える。条件は なので、個数は である。 を3で割った余りで見ると増分が規則的になり、 は に の3本の縦列を加えたものとして数えられる。面積は上側境界を積分して求め、最後は と の式を代入して極限を計算する。
解答
(1)
のとき であり、整数 は である。条件 は である。
各 について整数 の個数を数えると
である。したがって である。
(2)
は に、整数 について の3本の縦列を加えたものである。各列での整数 の個数を数える。 のとき なので、整数 は の 個である。 のとき なので、整数 は 個である。 のとき なので、整数 は 個である。
したがって増える整数点の個数は であり である。
(3)
(2) より である。 だから
である。よって である。
(4)
領域 の面積は である。したがって
である。
よって
である。したがって
であり、極限値は である。