東北大学 2014年度後期・理系数学後期第1問解答・解説

問題

2次の正方行列 $A$ ， $B$ ， $C$ を次のように定める。

A = (10 0 - 1), B = (13 - 3 1), C = B A B^{- 1}

(1) $C$ を求めよ。

(2) $C (x y) = (x y)$ を満たす点 $(x, y)$ をすべて求めよ。

(3) 点 $(x, y)$ が直線 $x = 1$ 上を動くとき，

(x^{'} y^{'}) = C (x y)

によって定まる点 $(x^{'}, y^{'})$ の軌跡の方程式を求めよ。

出典：東北大学 2014年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第1問

方針

(1) は $B^{- 1}$ を計算し、 $C = B A B^{- 1}$ を順に掛ける。行列 $A$ は $x$ 軸対称、 $B$ は回転拡大を表すので、 $C$ はある直線に関する対称移動になる。(2) は固定される点、つまり $C (y x) = (y x)$ を連立一次方程式で解く。(3) は直線 $x = 1$ 上の点を $(1, y)$ とおき、変換後 $(x^{'}, y^{'})$ を $y$ で表して消去する。

解答

(1)

B = (13 - 3 1)

であり、行列式は $1 \cdot 1 - (- 3) 3 = 4$ である。したがって

B^{- 1} = \frac{1}{4} (1 - 3 31)

である。

まず

B A = (13 - 3 1) (10 0 - 1) = (13 3 - 1)

である。よって

C = B A B^{- 1} = \frac{1}{4} (13 3 - 1) (1 - 3 31) = \frac{1}{4} (- 2 23 232)

である。したがって

C = - \frac{1}{2} \frac{3}{2} \frac{3}{2} \frac{1}{2}

である。

(2)

C (x y) = (x y)

は $- \frac{1}{2} x + \frac{3}{2} y = x$ および $\frac{3}{2} x + \frac{1}{2} y = y$ を意味する。第1式を整理すると $3 y = 3 x$ なので $y = 3 x$ である。第2式も同じ条件を与える。

よって求める点は直線 $y = 3 x$ 上のすべての点である。すなわち $(x, y) = (s, 3 s) (s \in R)$ である。

(3)

直線 $x = 1$ 上の点を

(1 y)

とおく。これを $C$ で移すと

(x^{'} y^{'}) = - \frac{1}{2} \frac{3}{2} \frac{3}{2} \frac{1}{2} (1 y)

である。したがって $x^{'} = - \frac{1}{2} + \frac{3}{2} y$ $y^{'} = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} y$ である。

第1式から $3 y = 2 x^{'} + 1$ なので $y = \frac{2 x ^{'} + 1}{3}$ である。これを第2式に代入すると

y^{'} = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2 x ^{'} + 1}{3} = \frac{3}{2 3} + \frac{2 x ^{'} + 1}{2 3} = \frac{x ^{'} + 2}{3}

である。よって $x^{'} - 3 y^{'} + 2 = 0$ である。軌跡の方程式は、文字を通常の $(x, y)$ に戻して書けば $x - 3 y + 2 = 0$ である。

東北大学 2014年度後期・理系数学 後期 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

東北大学 2014年度
後期・理系数学後期第1問