問題
を実数とする。平面上の2つの曲線とを考える。
(1) 2曲線，が異なる3つの交点をもつためのの条件を求めよ。
(2) 2曲線，が異なる3つの交点をもち，とで囲まれる2つの部分の面積が等しくなるようなの値を求めよ。
方針
交点は 、すなわち の根で決まる。(1) は2次方程式が0と異なる2つの実根を持つ条件を調べる。(2) は とおき、2次方程式の根を と表す。 では0が2根の間に入るため面積の分かれ方が異なり、等積条件を確認して不適とする。 では交点が の順になり、2つの面積をそれぞれ積分して等式を解く。
解答
(1)
交点の 座標は を満たす。整理すると である。したがって1つの交点は常に である。
異なる3つの交点を持つためには、2次方程式 が異なる2つの実数解を持ち、しかもそのどちらも0でないことが必要十分である。判別式は なので、異なる2実根を持つ条件は である。また0がこの2次方程式の根になるのは のときである。これは と重なって交点が3つにならない。
よって求める条件は である。
(2)
とおく。すると2次方程式の2根は である。また である。
まず の場合を考える。このとき であり、交点の 座標の順は である。2つの囲まれた部分は、区間 と に対応する。計算すると等積条件は となるが、左辺から右辺を引くと であり、等しくならない。したがって の場合に解はない。
次に の場合を考える。このとき であり、交点の 座標は の順である。
区間 では なので、左側の面積を とする。計算すると である。
区間 では が正なので、右側の面積を とする。計算すると である。
等積条件 は である。両辺を12倍して となる。展開して整理すると である。 より である。
したがって である。