問題
を実数とし，空間に5点
をとる。
(1) 線分が三角形の辺または内部と共有点をもつの範囲を求めよ。
(2) (1)の共有点と原点との距離の最小値と，そのときのの値を求めよ。
出典：東北大学 2014年度 後期日程 第2次学力試験 後期・理系 後期 第2問
方針
線分 上の点を 、 と表す。三角形 は平面 上にあり、さらに第1象限側の三角形なので、平面との交点が三角形内にあるには座標が を満たせばよい。平面条件から を出し、線分条件と三角形内条件を合わせる。(2) は共有点の座標を で表し、原点からの距離の2乗を最小化する。
解答
(1)
線分 上の点を とおく。、 だから である。第3成分を整理すると なので である。
三角形 を含む平面は、切片形より である。点 がこの平面上にある条件は である。左辺を整理すると だから である。
線分上の点であるためには が必要である。したがって より である。
この範囲で交点の座標を確認すると である。 では なので、平面上の交点は三角形 の辺または内部にある。よって求める範囲は である。
(2)
(1) の共有点は である。原点からの距離の2乗を とおくと である。これを展開すると である。微分すると である。ここで である。したがって の符号は の符号で決まる。
範囲 では、 は で最小になる。このとき であり である。よって最小値は で、そのとき である。