東北大学 2013年度理系数学前期第6問解答・解説

問題

半径1の円を底面とする高さ $\frac{1}{2}$ の直円柱がある。底面の円の中心を $O$ とし，直径を1つ取り $A B$ とおく。 $A B$ を含み底面と $45^{\circ}$ の角度をなす平面でこの直円柱を2つの部分に分けるとき，体積の小さい方の部分を $V$ とする。

(1) 直径 $A B$ と直交し， $O$ との距離が $t$ $(0 ≦ t ≦ 1)$ であるような平面で $V$ を切ったときの断面積 $S (t)$ を求めよ。

(2) $V$ の体積を求めよ。

出典：東北大学 2013年度前期日程第2次学力試験理系前期第6問

方針

直径 $A B$ を $x$ 軸、底面内でそれに垂直な方向を $y$ 軸、高さ方向を $z$ 軸にとる。切断平面は $z = y$ としてよく、小さい部分は各 $x = t$ 断面で $0 ≦ z ≦ min (y, 1/ 2)$ となる部分である。断面の半幅 $1 - t^{2}$ が円柱の高さ $1/ 2$ を超えるかどうかで場合分けし、最後に左右対称性で $t ≧ 0$ の積分を2倍する。

解答

(1)

底面を $x y$ 平面、高さ方向を $z$ 軸にとり、直径 $A B$ を $x$ 軸上におく。円柱は $x^{2} + y^{2} ≦ 1, 0 ≦ z ≦ \frac{1}{2}$ で表される。 $A B$ を含み底面と $4 5^{\circ}$ の角をなす平面は、向きを選べば $z = y$ と表せる。小さい方の部分 $V$ は、 $y ≧ 0$ 側でこの平面の下にある部分である。

直径 $A B$ と直交し、 $O$ との距離が $t$ である断面を考える。これは $x = t$ または $x = - t$ の断面で、面積は同じである。この断面内で $y$ の範囲は $- 1 - t^{2} ≦ y ≦ 1 - t^{2}$ である。小さい部分に関係するのは $0 ≦ y ≦ 1 - t^{2}$ であり、各 $y$ に対する高さは $min (y, \frac{1}{2})$ である。 $0 ≦ t ≦ 1/ 2$ のときは $1 - t^{2} ≧ 1/ 2$ だから、

S (t) = \int_{0}^{1/ 2} y d y + \int_{1/ 2}^{1 - t^{2}} \frac{1}{2} d y

である。したがって

S (t) = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} (1 - t^{2} - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} 1 - t^{2} - \frac{1}{4}

である。 $1/ 2 ≦ t ≦ 1$ のときは $1 - t^{2} ≦ 1/ 2$ だから、平面 $z = y$ が上面に達しない。よって $S (t) = \int_{0}^{1 - t^{2}} y d y = \frac{1 - t ^{2}}{2}$ である。

以上より

S (t) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{1}{2} 1 - t^{2} - \frac{1}{4} \frac{1 - t ^{2}}{2} (0 ≦ t ≦ \frac{1}{2}), (\frac{1}{2} ≦ t ≦ 1)

である。

(2)

断面積は $x = t$ と $x = - t$ で同じなので、体積は

V = 2 \int_{0}^{1/ 2} (\frac{1}{2} 1 - t^{2} - \frac{1}{4}) d t + 2 \int_{1/ 2}^{1} \frac{1 - t ^{2}}{2} d t

である。

まず $\int 1 - t^{2} d t = \frac{1}{2} (t 1 - t^{2} + arcsin t)$ を用いると、

2 \int_{0}^{1/ 2} (\frac{1}{2} 1 - t^{2} - \frac{1}{4}) d t = \frac{2 π}{8}

である。また

2 \int_{1/ 2}^{1} \frac{1 - t ^{2}}{2} d t = \int_{1/ 2}^{1} (1 - t^{2}) d t = \frac{2}{3} - \frac{5 2}{12}

である。したがって $V = \frac{2}{3} + \frac{2 π}{8} - \frac{5 2}{12}$ である。

東北大学 2013年度理系数学 前期 第6問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東北大学 2013年度
理系数学前期第6問