東北大学 2013年度理系数学前期第5問解答・解説

問題

2次の正方行列 $A$ を $A = - \frac{1}{2} \frac{1}{2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2}$ で定める。 $n = 1, 2, 3, \dots$ に対して，点 $P_{n} (x_{n}, y_{n})$ を関係式

(x_{n} y_{n}) = A (x_{n - 1} y_{n - 1}) + (10) (n = 1, 2, 3, \dots)

で定める。ただし， $x_{0} = 1$ ， $y_{0} = 0$ とする。

(1) $A^{4}$ を求めよ。

(2) $n = 0, 1, 2, \dots$ に対して，

(x_{n} y_{n}) = (E - A^{n + 1}) (E - A)^{- 1} (10)

が成り立つことを示せ。ただし， $E$ は2次の単位行列とする。

(3) 原点 $O$ から $P_{n}$ までの距離 $O P_{n}$ が最大となる $n$ を求めよ。

出典：東北大学 2013年度前期日程第2次学力試験理系前期第5問

方針

行列 $A$ は原点中心の $13 5^{\circ}$ 回転を表すので、まず $A^{4}$ と $A^{8}$ の周期性を押さえる。点 $P_{n}$ の漸化式は、初期値も加えて $E + A + \dots + A^{n}$ の行列和として表す。最後は $A^{8} = E$ により $P_{n}$ が $n$ の8で割った余りだけで決まることを使い、8通りの $O P_{n}^{2}$ を比較する。

解答

(1)

A = (- \frac{1}{2} \frac{1}{2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2})

は、原点を中心とする $13 5^{\circ}$ の回転を表す行列である。したがって $A^{4}$ は $13 5^{\circ} \times 4 = 54 0^{\circ}$ の回転、すなわち $18 0^{\circ}$ の回転を表す。よって $A^{4} = - E$ である。

(2)

p_{n} = (x_{n} y_{n}), e = (10)

とおく。条件は

p_{n} = A p_{n - 1} + e, p_{0} = e

である。これを繰り返すと $p_{n} = A^{n} p_{0} + (E + A + \dots + A^{n - 1}) e$ であり、 $p_{0} = e$ だから $p_{n} = (E + A + A^{2} + \dots + A^{n}) e$ である。

また、 $(E - A) (E + A + A^{2} + \dots + A^{n}) = E - A^{n + 1}$ である。 $E - A$ は逆行列をもつので、 $E + A + A^{2} + \dots + A^{n} = (E - A^{n + 1}) (E - A)^{- 1}$ である。したがって

(x_{n} y_{n}) = (E - A^{n + 1}) (E - A)^{- 1} (10)

が成り立つ。

(3)

(1) より $A^{8} = E$ である。したがって $p_{n} = (E + A + \dots + A^{n}) e$ は $n$ を $8$ で割った余りだけで決まる。 $e$ を順に $13 5^{\circ}$ ずつ回転したベクトルを加えていくと、 $n \equiv 0, 1, \dots, 7 (mod 8)$ に対する $O P_{n}^{2}$ はそれぞれ

1, 2 - 2, 3 - 22, 4 - 22, 3 - 22, 2 - 2, 1, 0

となる。たとえば $n = 3$ では

p_{3} = (10) + (- \frac{1}{2} \frac{1}{2}) + (0 - 1) + (\frac{1}{2} \frac{1}{2}) = (1 2 - 1)

なので $O P_{3}^{2} = 1 + (2 - 1)^{2} = 4 - 22$ である。

上の8つの値のうち最大は $4 - 22$ であり、これは $n \equiv 3 (mod 8)$ のときである。したがって求める $n$ は $n = 8 m + 3 (m = 0, 1, 2, \dots)$ である。

東北大学 2013年度理系数学 前期 第5問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

東北大学 2013年度
理系数学前期第5問