東北大学 2013年度理系数学前期第4問解答・解説

問題

数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ を

a_{n} = \int_{- \frac{π}{6}}^{\frac{π}{6}} e^{n s i n θ} d θ, b_{n} = \int_{- \frac{π}{6}}^{\frac{π}{6}} e^{n s i n θ} cos θ d θ (n = 1, 2, 3, \dots)

で定める。ただし， $e$ は自然対数の底とする。

(1) 一般項 $b_{n}$ を求めよ。

(2) すべての $n$ について， $b_{n} ≦ a_{n} ≦ \frac{2}{3} b_{n}$ が成り立つことを示せ。

(3) $n \to \infty lim \frac{1}{n} lo g (n a_{n})$ を求めよ。ただし，対数は自然対数とする。

出典：東北大学 2013年度前期日程第2次学力試験理系前期第4問

方針

$b_{n}$ は $e^{n s i n θ}$ の微分に $n cos θ$ が現れるため、直接積分できる。 $a_{n}$ と $b_{n}$ の比較は、区間内での $cos θ$ の範囲 $3 /2 ≦ cos θ ≦ 1$ を被積分関数に掛けて行う。最後は $a_{n}$ を $b_{n}$ ではさみ、 $n b_{n} = e^{n /2} - e^{- n /2}$ の対数の極限に帰着する。

解答

(1)

$b_{n} = \int_{- π /6}^{π /6} e^{n s i n θ} cos θ d θ$ である。 $e^{n s i n θ}$ を微分すると $\frac{d}{d θ} e^{n s i n θ} = n e^{n s i n θ} cos θ$ だから、 $b_{n} = [\frac{1}{n} e^{n s i n θ}]_{- π /6}^{π /6}$ である。 $sin (π /6) = 1/2$ 、 $sin (- π /6) = - 1/2$ より $b_{n} = \frac{e ^{n /2} - e ^{- n /2}}{n}$ である。

(2)

$- π /6 ≦ θ ≦ π /6$ では $\frac{3}{2} ≦ cos θ ≦ 1$ である。また $e^{n s i n θ} > 0$ であるから、 $e^{n s i n θ} cos θ ≦ e^{n s i n θ}$ であり、積分して $b_{n} ≦ a_{n}$ を得る。

一方、 $cos θ ≧ 3 /2$ より $e^{n s i n θ} ≦ \frac{2}{3} e^{n s i n θ} cos θ$ である。これを積分して $a_{n} ≦ \frac{2}{3} b_{n}$ を得る。したがって $b_{n} ≦ a_{n} ≦ \frac{2}{3} b_{n}$ である。

(3)

(2) の不等式に $n$ を掛けると $n b_{n} ≦ n a_{n} ≦ \frac{2}{3} n b_{n}$ である。(1) より $n b_{n} = e^{n /2} - e^{- n /2} = e^{n /2} (1 - e^{- n})$ だから $\frac{1}{n} lo g (n b_{n}) = \frac{1}{2} + \frac{1}{n} lo g (1 - e^{- n})$ である。ここで $lo g (1 - e^{- n}) \to 0$ なので $lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} lo g (n b_{n}) = \frac{1}{2}$ である。

さらに

\frac{1}{n} lo g (n b_{n}) ≦ \frac{1}{n} lo g (n a_{n}) ≦ \frac{1}{n} lo g (n b_{n}) + \frac{1}{n} lo g \frac{2}{3}

であり、右端と左端はいずれも $1/2$ に収束する。よってはさみうちにより $lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} lo g (n a_{n}) = \frac{1}{2}$ である。

東北大学 2013年度理系数学 前期 第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

東北大学 2013年度
理系数学前期第4問