問題
，の2人が，サイコロを1回ずつ交互に投げるゲームを行う。自分の出したサイコロの目を合計して先に6以上になった方を勝ちとし，その時点でゲームを終了する。から投げ始めるものとし，以下の問いに答えよ。
(1) がちょうど2回投げてが勝ちとなる確率を求めよ。
(2) がちょうど2回投げてが勝ちとなる確率を求めよ。
(3) がちょうど3回投げて，その時点でゲームが終了していない確率を求めよ。
方針
ゲームが終わるのは各人の累積和が初めて 以上になった瞬間である。したがって、勝つ人の累積和だけでなく、その直前まで相手が勝っていない条件を同時に数える。2回で勝つ出方、2回でまだ終わらない出方、3回で和が 以下の出方をそれぞれ準備して使う。
解答
まず、2回のさいころの目の和が 以下となる通り数は 通りである。また、1回目では勝たず、2回の和が 以上となる通り数は、1回目が のときに2回目がそれぞれ 以上であればよいので、 通りである。
(1)
がちょうど2回投げて勝つには、 の1回目では勝たず、 の2回の和が 以上になり、さらにその前に が1回目で勝っていない必要がある。したがって の出方は上の 通り、 の1回目は から の 通りである。よって求める確率は である。
(2)
がちょうど2回投げて勝つには、 の2回目の直前までゲームが続いていなければならない。つまり、 の最初の2回の和は 以下であり、 は1回目では勝たず、2回の和で 以上になればよい。 の2回の出方は 通り、 の2回の出方は 通りである。したがって である。
(3)
がちょうど3回投げた時点でまだゲームが終了していないためには、 の3回の合計も の3回の合計も 以下でなければならない。3個のさいころの目を とすると、 である。 とおけば である。この非負整数解の個数は 通りである。
よって 、 それぞれについて 通りずつなので、求める確率は である。