東北大学 2013年度理系数学前期第1問解答・解説

問題

$k$ を実数とする。3次式 $f (x) = x^{3} - k x^{2} - 1$ に対し，方程式 $f (x) = 0$ の3つの解を $α$ ， $β$ ， $γ$ とする。 $g (x)$ は $x^{3}$ の係数が1である3次式で，方程式 $g (x) = 0$ の3つの解が $α β$ ， $β γ$ ， $γ α$ であるものとする。

(1) $g (x)$ を $k$ を用いて表せ。

(2) 2つの方程式 $f (x) = 0$ と $g (x) = 0$ が共通の解をもつような $k$ の値を求めよ。

出典：東北大学 2013年度前期日程第2次学力試験理系前期第1問

方針

まず $f (x) = 0$ の3解の基本対称式を解と係数の関係から求め、 $α β, β γ, γ α$ を根にもつ3次式を作る。共通解の条件は、同じ数 $r$ が $f (r) = g (r) = 0$ を満たすとして2式の差を取ると大きく絞れる。最後に $k = 0$ の場合と $r = - 1$ の場合をそれぞれ元の式へ戻して確認する。

解答

(1)

$f (x) = x^{3} - k x^{2} - 1$ の3つの解を $α, β, γ$ とすると、解と係数の関係より

α + β + γ = k, α β + β γ + γ α = 0, α β γ = 1

である。 $g (x) = 0$ の3つの解は $α β, β γ, γ α$ である。これらの和は $α β + β γ + γ α = 0$ である。2つずつの積の和は

(α β) (β γ) + (β γ) (γ α) + (γ α) (α β) = α β γ (α + β + γ) = k

である。また3つの積は $(α β) (β γ) (γ α) = (α β γ)^{2} = 1$ である。

よって、 $x^{3}$ の係数が $1$ であることから $g (x) = x^{3} - 0 x^{2} + k x - 1 = x^{3} + k x - 1$ である。

(2)

2つの方程式が共通解 $r$ をもつとする。このとき $r^{3} - k r^{2} - 1 = 0, r^{3} + k r - 1 = 0$ である。2式を引くと $- k r^{2} - k r = 0$ すなわち $k r (r + 1) = 0$ である。

ここで $r = 0$ はどちらの方程式にも代入すると左辺が $- 1$ になり、解ではない。したがって $k = 0 または r = - 1$ である。 $k = 0$ のときは $f (x) = x^{3} - 1, g (x) = x^{3} - 1$ となり、確かに共通解をもつ。

次に $r = - 1$ のとき、 $f (- 1) = 0$ より $- 1 - k - 1 = 0$ であるから $k = - 2$ である。このとき $g (- 1) = - 1 + 2 - 1 = 0$ でもあるので、実際に共通解をもつ。

したがって求める値は $k = 0, - 2$ である。

別解。共通解があるとは、 $α, β, γ$ のいずれかが $α β, β γ, γ α$ のいずれかと等しいということである。たとえば $α = α β$ なら、 $α \neq = 0$ なので $β = 1$ である。一方、 $α = β γ$ なら、 $α β γ = 1$ より $β γ = 1/ α$ だから $α^{2} = 1$ である。他の場合も同様に、結局 $f (x) = 0$ が $1$ または $- 1$ を解にもつことが必要になる。 $f (1) = 1 - k - 1 = - k$ より $k = 0$ 、 $f (- 1) = - 1 - k - 1 = - k - 2$ より $k = - 2$ である。逆にこの2つの値では実際に共通解をもつので、同じ結論になる。

東北大学 2013年度理系数学 前期 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東北大学 2013年度
理系数学前期第1問