東北大学 2013年度後期・理系数学後期第5問解答・解説

問題

$p$ は $0 < p < 1$ を満たす実数とする。数列 ${a_{n}}$ は， $a_{1} = 1$ および関係式

\frac{1}{a _{1}} + \frac{1}{a _{2}} + \dots + \frac{1}{a _{n}} = \frac{1}{a _{n + 1}} + p (n = 1, 2, 3, \dots)

を満たすものとする。

(1) $n ≧ 2$ のとき， $a_{n}$ を求めよ。

(2) $n = 1 \sum \infty n a_{n} = 20$ であるとき， $p$ の値を求めよ。

出典：東北大学 2013年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第5問

方針

与えられた和の式を $S_{n} = 1/ a_{1} + \dots + 1/ a_{n}$ とおき、 $n$ の式と $n - 1$ の式を引いて $1/ a_{n}$ の漸化式を作る。 $a_{2}$ は $n = 1$ から決まり、以後は公比 $1/2$ の等比数列になる。(2) は $n = 1$ の項を分け、 $\sum n / 2^{n - 2}$ を基本的な等比級数の和に直して $p$ を決める。

解答

(1)

$S_{n} = \frac{1}{a _{1}} + \frac{1}{a _{2}} + \dots + \frac{1}{a _{n}}$ とおく。条件は $S_{n} = \frac{1}{a _{n + 1}} + p$ である。

まず $n = 1$ を代入すると、 $a_{1} = 1$ より $1 = \frac{1}{a _{2}} + p$ である。したがって $\frac{1}{a _{2}} = 1 - p, a_{2} = \frac{1}{1 - p}$ である。

次に $n ≧ 2$ について、 $n$ の式と $n - 1$ の式を引く。 $S_{n} - S_{n - 1} = (\frac{1}{a _{n + 1}} + p) - (\frac{1}{a _{n}} + p)$ である。左辺は $1/ a_{n}$ なので $\frac{1}{a _{n}} = \frac{1}{a _{n + 1}} - \frac{1}{a _{n}}$ となる。よって $\frac{1}{a _{n + 1}} = \frac{2}{a _{n}}$ であり、 $a_{n + 1} = \frac{1}{2} a_{n}$ である。

したがって $n ≧ 2$ では $a_{n} = a_{2} (\frac{1}{2})^{n - 2} = \frac{1}{( 1 - p ) 2 ^{n - 2}}$ である。

(2)

(1) より

n = 1 \sum \infty n a_{n} = 1 + \frac{1}{1 - p} n = 2 \sum \infty \frac{n}{2 ^{n - 2}}

である。ここで $m = n - 2$ とおくと

n = 2 \sum \infty \frac{n}{2 ^{n - 2}} = m = 0 \sum \infty \frac{m + 2}{2 ^{m}} = m = 0 \sum \infty \frac{m}{2 ^{m}} + 2 m = 0 \sum \infty \frac{1}{2 ^{m}}

である。基本的な等比級数の和から

m = 0 \sum \infty \frac{1}{2 ^{m}} = 2, m = 0 \sum \infty \frac{m}{2 ^{m}} = 2

なので $\sum_{n = 2}^{\infty} \frac{n}{2 ^{n - 2}} = 2 + 4 = 6$ である。

よって $\sum_{n = 1}^{\infty} n a_{n} = 1 + \frac{6}{1 - p}$ である。これが $20$ に等しいから $1 + \frac{6}{1 - p} = 20$ であり、 $1 - p = \frac{6}{19}$ を得る。したがって $p = \frac{13}{19}$ である。これは $0 < p < 1$ を満たす。

東北大学 2013年度後期・理系数学 後期 第5問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東北大学 2013年度
後期・理系数学後期第5問