東北大学 2013年度後期・理系数学後期第2問解答・解説

問題

$t$ は $0 < t < 1$ を満たす実数とする。1辺の長さが1の正四面体 $O A B C$ において，辺 $O A$ を $t : (1 - t)$ に内分する点を $D$ ，辺 $O B$ を $2 : 1$ に内分する点を $E$ ，辺 $A C$ を $2 : 1$ に内分する点を $F$ とする。3点 $D$ ， $E$ ， $F$ が定める平面を $α$ とし，平面 $α$ と辺 $B C$ との交点を $G$ とする。

(1) $O G$ を $O B$ ， $O C$ ，および $t$ を用いて表せ。

(2) $0 < t < 1$ における $△ E F G$ の面積の最小値を求めよ。

出典：東北大学 2013年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第2問

方針

文系後期第4問を $t$ で一般化して考える。 $G$ を辺 $B C$ 上の $(1 - u) O B + u O C$ と置き、 $D, E, F, G$ の同一平面条件を係数比較して $u = t$ を求める。面積は $E F$ と $E G$ の内積で2乗を計算し、 $t$ の二次式の最小値に帰着する。

解答

(1)

O A = a, O B = b, O C = c

とおく。正四面体なので

∣ a ∣ = ∣ b ∣ = ∣ c ∣ = 1, a \cdot b = b \cdot c = c \cdot a = \frac{1}{2}

である。

各点の位置ベクトルは

O D = t a, O E = \frac{2}{3} b, O F = \frac{1}{3} a + \frac{2}{3} c

である。 $G$ は辺 $B C$ 上にあるので $O G = (1 - u) b + u c$ とおく。 $D, E, F, G$ が同一平面上にあるので $D G = λ D E + μ D F$ と表せる。ここで

D G = - t a + (1 - u) b + u c,

D E = - t a + \frac{2}{3} b, D F = (\frac{1}{3} - t) a + \frac{2}{3} c

である。係数を比較して

1 - u = \frac{2}{3} λ, u = \frac{2}{3} μ, - t = - t λ + (\frac{1}{3} - t) μ

を得る。最初の2式から $λ = \frac{3}{2} (1 - u), μ = \frac{3}{2} u$ であり、これを3式目へ代入すると $- 2 t = - 3 t (1 - u) + (1 - 3 t) u = - 3 t + u$ となる。したがって $u = t$ である。よって $O G = (1 - t) O B + t O C$ である。

(2)

(1) より

E F = \frac{1}{3} a - \frac{2}{3} b + \frac{2}{3} c

であり、

E G = (\frac{1}{3} - t) b + t c

である。内積関係を用いると $∣ E F ∣^{2} = \frac{5}{9},$ また

∣ E G ∣^{2} = (\frac{1}{3} - t)^{2} + t^{2} + (\frac{1}{3} - t) t = t^{2} - \frac{1}{3} t + \frac{1}{9}

である。さらに $E F \cdot E G = \frac{12 t - 1}{18}$ である。

したがって

[△ E F G]^{2} = \frac{1}{4} (∣ E F ∣^{2} ∣ E G ∣^{2} - (E F \cdot E G)^{2})

より $[△ E F G]^{2} = \frac{36 t ^{2} - 36 t + 19}{1296}$ である。平方根をとる前に、この二次式を最小にすればよい。平方完成すると $36 t^{2} - 36 t + 19 = 36 (t - \frac{1}{2})^{2} + 10$ である。 $0 < t < 1$ で $t = 1/2$ は許されるので、面積の最小値は $\frac{10}{1296} = \frac{10}{36}$ である。

東北大学 2013年度後期・理系数学 後期 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東北大学 2013年度
後期・理系数学後期第2問