東北大学 2013年度
後期・理系数学 後期 第3問

解答

(1)

直線 $l:y=ax+b$ を $C:x^2-y^2=1$ に代入すると $x^2-(ax+b{)}^2=1$ である。整理して $(1-a^2)x^2-2abx-(b^2+1)=0$ を得る。 $|a|<1$ のとき、この2次方程式の判別式は ${\Delta }_C=4(b^2+1-a^2)>0$ であるから、常に2点で交わる。 $|a|>1$ のときも2次方程式であり、2点で交わる条件は ${\Delta }_C>0$ すなわち $b^2+1-a^2>0$ である。よって $b^2>a^2-1$ である。 $|a|=1$ のときは1次方程式または矛盾になり、2点では交わらない。したがって求める範囲は $|a|<1\text{または}|a|>1,b^2>a^2-1$ である。図示すると、縦帯 $-1<a<1$ 全体と、$|a|>1$ において双曲線 $b^2=a^2-1$ の外側である。

(2)

$C$ と $l$ がちょうど1点で交わる場合を考える。$|a|>1$ では接する場合であり、${\Delta }_C=0$ だから $b^2=a^2-1$ である。

また $|a|=1$ のとき、方程式は $-2abx-(b^2+1)=0$ となる。$b\ne 0$ なら1次方程式としてただ1つの解をもち、$b=0$ なら解をもたない。よって求める範囲は $|a|>1,b^2=a^2-1\text{または}|a|=1,b\ne 0$ である。図示では、双曲線 $b^2=a^2-1$ の2枝と、直線 $a=\pm 1$ 上の $b\ne 0$ の部分である。

(3)

次に $D:x^2-y^2=-1$ と $l$ の交点数を調べる。代入すると $x^2-(ax+b{)}^2=-1$ すなわち $(1-a^2)x^2-2abx+1-b^2=0$ である。$|a|\ne 1$ のとき、判別式は ${\Delta }_D=4(a^2+b^2-1)$ である。 $|a|<1$ では、$C$ との交点数は常に2である。交点数の和が2になるには、$D$ との交点数が0であればよい。これは $a^2+b^2<1$ である。 $|a|=1$ では、$b\ne 0$ のとき $C$ とも $D$ ともそれぞれ1点で交わるので、和は2である。$b=0$ のときはいずれも交わらないので、和は0である。 $|a|>1$ では、$D$ との交点数は常に2である。したがって和が2になるには、$C$ との交点数が0であればよい。これは $b^2<a^2-1$ である。

以上より、求める範囲は $a^2+b^2<1$ または $|a|=1,b\ne 0$ または $|a|>1,b^2<a^2-1$ である。図示すると、単位円の内部、直線 $a=\pm 1$ 上で $b=0$ を除いた部分、さらに $|a|>1$ で双曲線 $b^2=a^2-1$ の内側にあたる部分である。