東北大学 2013年度後期・理系数学後期第1問解答・解説

問題

2次方程式 $4 x^{2} + 2 x - 1 = 0$ の2つの解を $α$ ， $β$ $(α > β)$ とする。

(1) $α = cos θ$ となる角 $θ$ が， $\frac{π}{3} ≦ θ ≦ \frac{π}{2}$ の範囲に1つだけ存在することを示せ。

以下， $θ$ は(1)で定まるものとする。

(2) $β = cos 2 θ$ であることを示せ。

(3) $θ$ の値を求めよ。

(4) $sin \frac{3 θ}{4}$ を求めよ。

出典：東北大学 2013年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第1問

方針

(1) から (3) は文系後期第2問と同じ流れで、2次方程式の解を求め、 $cos θ$ の単調性と2倍角公式で $θ$ を決める。(4) は $θ = 2 π /5$ を代入し、 $sin (3 π /10) = cos (π /5)$ に直して既知の値を使う。

解答

(1)

2次方程式 $4 x^{2} + 2 x - 1 = 0$ の解は $x = \frac{- 2 \pm 20}{8} = \frac{- 1 \pm 5}{4}$ である。 $α > β$ より $α = \frac{- 1 + 5}{4}, β = \frac{- 1 - 5}{4}$ である。 $2 < 5 < 3$ だから $0 < α < \frac{1}{2}$ である。また $π /3 ≦ θ ≦ π /2$ で $cos θ$ は $1/2$ から $0$ まで単調に減少する。したがって $α = cos θ$ となる $θ$ はこの範囲にただ1つ存在する。

(2)

$α$ は方程式 $4 x^{2} + 2 x - 1 = 0$ の解なので $4 α^{2} + 2 α - 1 = 0$ である。これより $2 α^{2} - 1 = - α - \frac{1}{2}$ であり、 $α = (- 1 + 5) /4$ を代入すると $2 α^{2} - 1 = \frac{- 1 - 5}{4} = β$ である。したがって $cos 2 θ = 2 cos^{2} θ - 1 = 2 α^{2} - 1 = β$ である。

(3)

$π /3 ≦ θ ≦ π /2$ より $\frac{2 π}{3} ≦ 2 θ ≦ π$ である。また $β = - \frac{1 + 5}{4} = cos \frac{4 π}{5}$ である。 $[0, π]$ で $cos x$ は単調に減少するので、 $2 θ = \frac{4 π}{5}$ である。よって $θ = \frac{2 π}{5}$ である。

(4)

(3) より $\frac{3 θ}{4} = \frac{3}{4} \cdot \frac{2 π}{5} = \frac{3 π}{10}$ である。したがって

sin \frac{3 θ}{4} = sin \frac{3 π}{10} = cos (\frac{π}{2} - \frac{3 π}{10}) = cos \frac{π}{5}

である。ここで $cos \frac{π}{5} = \frac{1 + 5}{4}$ だから、 $sin \frac{3 θ}{4} = \frac{1 + 5}{4}$ である。

東北大学 2013年度後期・理系数学 後期 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

(4)

東北大学 2013年度
後期・理系数学後期第1問