東北大学 2012年度理系数学前期第6問解答・解説

問題

数列 ${a_{n}}$ を

a_{1} = 1, a_{n + 1} = \frac{3 a _{n} + 4}{2 a _{n} + 3} (n = 1, 2, 3, \dots)

で定める。以下の問いに答えよ。

(1) $n ≧ 2$ のとき， $a_{n} > 1$ となることを示せ。

(2) $a^{2} = \frac{3 α + 4}{2 α + 3}$ を満たす正の実数 $α$ を求めよ。

(3) すべての自然数 $n$ に対して $a_{n} < α$ となることを示せ。

(4) $0 < r < 1$ を満たすある実数 $r$ に対して，不等式

\frac{α - a _{n + 1}}{α - a _{n}} ≦ r (n = 1, 2, 3, \dots)

が成り立つことを示せ。さらに，極限 $n \to \infty lim a_{n}$ を求めよ。

出典：東北大学 2012年度前期日程第2次学力試験理系前期第6問

方針

漸化式を $a_{n + 1} = ϕ (a_{n})$ と見て、まず $1$ より大きい範囲に入ることを帰納法で示す。次に正の固定点 $α$ を求め、 $ϕ$ が増加関数であることから $a_{n} < α$ を保つ。(4)は平均値の定理を $ϕ (α) - ϕ (a_{n})$ に適用し、 $[1, α]$ 上で $ϕ^{'} (x)$ が1未満に抑えられることを使って差が等比的に縮むことを示す。

解答

(1)

まず $a_{2} = \frac{3 \cdot 1 + 4}{2 \cdot 1 + 3} = \frac{7}{5} > 1$ である。次に $a_{n} > 1$ と仮定する。このとき $\frac{3 a _{n} + 4}{2 a _{n} + 3} > 1$ は $3 a_{n} + 4 > 2 a_{n} + 3$ すなわち $a_{n} + 1 > 0$ から成り立つ。したがって $a_{n + 1} > 1$ である。よって帰納法により $n ≧ 2 のとき a_{n} > 1$ である。

(2)

正の実数 $α$ が $α^{2} = \frac{3 α + 4}{2 α + 3}$ を満たすとする。分母は正なので整理して $α^{2} (2 α + 3) = 3 α + 4$ すなわち $2 α^{3} + 3 α^{2} - 3 α - 4 = 0$ である。因数分解すると $(α + 1) (2 α^{2} + α - 4) = 0$ である。正の解は二次方程式 $2 α^{2} + α - 4 = 0$ から $α = \frac{- 1 + 33}{4}$ である。

(3)

$ϕ (x) = \frac{3 x + 4}{2 x + 3}$ とおく。 $x > 0$ では $\frac{3 x + 4}{2 x + 3}$ の微分が $\frac{1}{( 2 x + 3 ) ^{2}} > 0$ であるから、 $ϕ (x)$ は増加関数である。

(2)の $α$ は $α > 1$ を満たす。また $a_{1} = 1 < α$ である。もし $a_{n} < α$ なら、増加性より $a_{n + 1} = ϕ (a_{n}) < ϕ (α) = α$ である。したがって帰納法により $a_{n} < α (n = 1, 2, 3, \dots)$ である。

(4)

(1),(3)より、すべての $n$ について $1 ≦ a_{n} < α$ である。 $1 ≦ x ≦ α$ で $ϕ^{'} (x) = \frac{1}{2 ϕ ( x ) ( 2 x + 3 ) ^{2}}$ である。この区間では $ϕ (x) ≧ 1$ 、 $2 x + 3 ≧ 5$ だから $0 < ϕ^{'} (x) ≦ \frac{1}{50}$ である。

平均値の定理より、 $a_{n}$ と $α$ の間のある数 $ξ$ を用いて $α - a_{n + 1} = ϕ (α) - ϕ (a_{n}) = ϕ^{'} (ξ) (α - a_{n})$ と書ける。したがって $0 < \frac{α - a _{n + 1}}{α - a _{n}} ≦ \frac{1}{50}$ である。よって、例えば $r = \frac{1}{50}$ とすれば条件を満たす。

さらに $0 < α - a_{n} ≦ r^{n - 1} (α - a_{1})$ であり、 $0 < r < 1$ だから右辺は0に収束する。したがって $n \to \infty lim a_{n} = α = \frac{- 1 + 33}{4}$ である。

東北大学 2012年度理系数学 前期 第6問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

(4)

東北大学 2012年度
理系数学前期第6問