東北大学 2012年度理系数学前期第2問解答・解説

問題

$m$ を実数とする。座標平面上で直線 $y = x$ に関する対称移動を表す1次変換を $f$ とし，直線 $y = m x$ に関する対称移動を表す1次変換を $g$ とする。以下の問いに答えよ。

(1) 1次変換 $g$ を表す行列 $A$ を求めよ。

(2) 合成変換 $g \circ f$ を表す行列 $B$ を求めよ。

(3) $B^{3} = (1001)$ となる $m$ をすべて求めよ。

出典：東北大学 2012年度前期日程第2次学力試験理系前期第2問

方針

(1)は直線 $y = m x$ 方向の成分を保ち、それに垂直な成分の符号を反転する対称移動の行列を作る。(2)は $y = x$ に関する対称移動の行列を右から掛けて合成行列を得る。(3)は得られた行列が回転行列の形になっていることを読み取り、3乗して単位行列になる回転角 $0, 2 π /3, 4 π /3$ に対応する $m$ を解く。

解答

(1)

直線 $y = m x$ 方向のベクトルを $u = (1, m)$ とする。この直線に関する対称移動では、 $u$ 方向の成分はそのまま残り、垂直方向の成分は符号が反転する。計算すると、点 $(x, y)$ の像 $(X, Y)$ は

(X Y) = \frac{1}{1 + m ^{2}} (1 - m^{2} 2 m 2 m m^{2} - 1) (x y)

である。したがって

A = \frac{1}{1 + m ^{2}} (1 - m^{2} 2 m 2 m m^{2} - 1)

である。

(2)

直線 $y = x$ に関する対称移動 $f$ は、座標を入れ替える変換なので、行列は

F = (0110)

である。合成 $g \circ f$ は先に $f$ 、次に $g$ を行うので、行列は $B = A F$ である。よって

B = \frac{1}{1 + m ^{2}} (1 - m^{2} 2 m 2 m m^{2} - 1) (0110)

= \frac{1}{1 + m ^{2}} (2 m m^{2} - 1 1 - m^{2} 2 m)

である。

(3)

(2)の行列は

B = (cos ϕ sin ϕ - sin ϕ cos ϕ)

の形であり、 $cos ϕ = \frac{2 m}{1 + m ^{2}}, sin ϕ = \frac{m ^{2} - 1}{1 + m ^{2}}$ と読める。したがって $B$ は原点まわりの回転を表す。 $B^{3} = E$ となるには、3回回転した角が $2 π$ の整数倍であればよい。したがって $ϕ \equiv 0, \frac{2 π}{3}, \frac{4 π}{3} (mod 2 π)$ である。 $ϕ \equiv 0$ のときは $sin ϕ = 0$ 、 $cos ϕ = 1$ なので $\frac{m ^{2} - 1}{1 + m ^{2}} = 0$ かつ $2 m / (1 + m^{2}) = 1$ となり、 $m = 1$ である。

残り2つの場合は $cos ϕ = - 1/2$ であるから $\frac{2 m}{1 + m ^{2}} = - \frac{1}{2}$ を解けばよい。すなわち $m^{2} + 4 m + 1 = 0$ であり、 $m = - 2 \pm 3$ を得る。よって $m = 1, - 2 + 3, - 2 - 3$ である。

別解。(3)は幾何的にも見られる。直線 $y = x$ のなす角は $π /4$ 、直線 $y = m x$ のなす角を $θ$ とすると、2つの直線に関する対称移動の合成は角 $2 (θ - π /4)$ の回転である。3乗が単位変換になるには

2 (θ - \frac{π}{4}) \equiv 0, \frac{2 π}{3}, \frac{4 π}{3} (mod 2 π)

であればよい。これを $m = tan θ$ に戻すと、同じく $m = 1, - 2 \pm 3$ が得られる。

東北大学 2012年度理系数学 前期 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

東北大学 2012年度
理系数学前期第2問