問題
，を実数とする。以下の問いに答えよ。
(1) ，とおく。，が，の範囲を動くとき，点の動く範囲を座標平面内に図示せよ。
(2) ，とおく。，が実数全体を動くとき，点の動く範囲を座標平面内に図示せよ。
出典：東北大学 2012年度 前期日程 第2次学力試験 理系 前期 第1問
方針
(1)は連立一次式を について解き、 を の半平面条件に直す。(2)は から を消去し、固定した に対して が の二次式としてどこまで動けるかを見る。下向き放物線の最大値以下がすべて実現するので、境界放物線の左側の領域になる。
解答
(1)
である。2式を加えると であり、2式を引くと である。したがって である。
条件 は と同値である。よって点 の動く範囲は を同時に満たす領域である。図示すると、直線 の上側と直線 の下側の共通部分であり、境界線を含む。
(2)
より である。これを に代入すると である。
ここで は任意の実数を動く。固定した に対して、右辺は の下に凸でない二次式であり、最大値は頂点 でとる。その最大値は である。逆に、この最大値以下の任意の は、対応する二次方程式が実数解 をもつので実現できる。
したがって点 の動く範囲は である。図示すると、境界 をもつ右向きの放物線と、その左側の領域であり、境界を含む。