問題
に対して，関数を
と定める。のにおける最大値と最小値を求めよ。
出典：東北大学 2012年度 前期日程 第2次学力試験 理系 前期 第4問
方針
絶対値の中身 の符号が変わるかどうかで、 と に分ける。原始関数は である。前半では積分区間を で分割して を得る。後半では全区間で なので一度に積分し、最後は得られた関数の増減と端点値を比較する。
解答
に対して であることを用いる。
まず とする。このとき積分区間を で分けると
である。変数をそれぞれ 、 とすれば
である。したがって すなわち である。この範囲で は で最大となる。実際、 と はともに で最大である。よってこの範囲の最大値は
である。端点 では値は である。
次に とする。このとき なので である。したがって
である。よって であり、 だから である。
この範囲では は で2、 で となり、単調に減少する。したがってこの範囲の最大値は 、最小値は である。
以上を合わせると、全体の最大値は であり、最小値は である。