問題
長さ1の線分を直径とする円周上に点をとる。ただし，点は点，とは一致していないとする。線分上の点をとなるようにとり，線分の長さをとし，線分の長さをとする。以下の問いに答えよ。
(1) をを用いて表せ。
(2) 点が2点，を除いた円周上を動くとき，が最大となるを求めよ。
出典：東北大学 2012年度 前期日程 第2次学力試験 理系 前期 第5問
方針
直径に対する円周角より である。 とおくと で、三角形 に正弦定理を使えば を求められる。(2)は の正接を とおき、 に変換して を の関数として微分する。端では なので、内部の停留点が最大を与える。
解答
(1)
は円 の直径であり、 は と異なる円周上の点であるから である。、 より、直角三角形 で である。 とおく。この角を とすれば、直角三角形 から である。三角形 では であり、、 である。正弦定理より である。ここで
だから である。
(2)
とおく。すると
である。(1)の式は となる。 または で であるから、最大は内部で起こる。対数微分を用いると である。これを0とおくと であり、整理して を得る。したがって である。この前後で は増加から減少に変わるので、ここで最大をとる。
よって求める は である。