東北大学 2012年度後期・理系数学後期第6問解答・解説

問題

$A B = 1$ ， $A C = 3$ ， $∠ B A C = \frac{π}{2}$ である直角三角形 $A B C$ を考える。 $n$ を2以上の自然数とし，辺 $A B$ を $n$ 等分して得られる点を $A$ に近い方から順に $P_{1}, P_{2}, \dots, P_{n - 1}$ とする。 $A$ を $P_{0}$ ， $B$ を $P_{n}$ とおくとき，以下の問いに答えよ。

(1) 三角形 $P_{k} C P_{k + 1}$ $(0 ≦ k ≦ n - 1)$ の内接円の半径を求めよ。

(2) 三角形 $P_{k} C P_{k + 1}$ $(0 ≦ k ≦ n - 1)$ の内接円の面積の総和を $S_{n}$ とする。

I_{n} = \frac{1}{n} k = 0 \sum n - 1 \frac{1}{3 + ( \frac{k}{n} ) ^{2}}

とおくと， $n S_{n} ≦ \frac{3 π}{4} I_{n}$ となることを示せ。また，極限 $n \to \infty lim I_{n}$ を求めよ。

(3) 極限 $n \to \infty lim n S_{n}$ を求めよ。

出典：東北大学 2012年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第6問

方針

座標を $A = (0, 0), B = (1, 0), C = (0, 3)$ とおき、 $P_{k} = (k / n, 0)$ とする。(1)は小三角形 $P_{k} C P_{k + 1}$ の底辺、2つの斜辺、面積を求め、内接円半径 $r = Δ/ s$ で表す。(2)は2つの斜辺を下から同じ量で評価して $r_{k}^{2}$ の上界を作り、 $I_{n}$ に結びつける。 $I_{n}$ はリーマン和として積分に収束する。(3)は(1)の正確な式を用いて $n S_{n}$ をリーマン和に直し、極限を計算する。

解答

(1)

座標を $A = (0, 0), B = (1, 0), C = (0, 3)$ とおく。このとき $P_{k} = (\frac{k}{n}, 0)$ である。したがって $P_{k} P_{k + 1} = \frac{1}{n}$ であり、

C P_{k} = 3 + (\frac{k}{n})^{2}, C P_{k + 1} = 3 + (\frac{k + 1}{n})^{2}

である。

三角形 $P_{k} C P_{k + 1}$ の底辺を $P_{k} P_{k + 1}$ と見ると、高さは $3$ なので、面積は $Δ_{k} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{n} \cdot 3 = \frac{3}{2 n}$ である。内接円の半径を $r_{k}$ とすると、 $Δ_{k} = r_{k} s_{k}$ である。ただし $s_{k}$ は半周長で、

s_{k} = \frac{1}{2} {\frac{1}{n} + 3 + (k / n)^{2} + 3 + ((k + 1) / n)^{2}}

である。よって

r_{k} = \frac{3 / n}{\frac{1}{n} + 3 + ( k / n ) ^{2} + 3 + (( k + 1 ) / n ) ^{2}}

である。

(2)

$3 + ((k + 1) / n)^{2} ≧ 3 + (k / n)^{2}$ であるから、(1)の分母は $2 3 + (k / n)^{2}$ 以上である。したがって $r_{k} ≦ \frac{3}{2 n 3 + ( k / n ) ^{2}}$ である。よって

S_{n} = k = 0 \sum n - 1 π r_{k}^{2} ≦ k = 0 \sum n - 1 \frac{3 π}{4 n ^{2} { 3 + ( k / n ) ^{2} }}

である。両辺に $n$ を掛けると

n S_{n} ≦ \frac{3 π}{4} \cdot \frac{1}{n} k = 0 \sum n - 1 \frac{1}{3 + ( k / n ) ^{2}} = \frac{3 π}{4} I_{n}

を得る。

また $I_{n}$ は関数 $1/ (3 + x^{2})$ の $[0, 1]$ におけるリーマン和であるから $lim_{n \to \infty} I_{n} = \int_{0}^{1} \frac{d x}{3 + x ^{2}}$ である。計算すると

\int_{0}^{1} \frac{d x}{3 + x ^{2}} = \frac{1}{3} [arctan \frac{x}{3}]_{0}^{1} = \frac{1}{3} \cdot \frac{π}{6}

なので $n \to \infty lim I_{n} = \frac{π}{6 3}$ である。

(3)

(1)より

n S_{n} = \frac{3 π}{n} k = 0 \sum n - 1 \frac{1}{{ \frac{1}{n} + 3 + ( k / n ) ^{2} + 3 + (( k + 1 ) / n ) ^{2} } ^{2}}

である。 $n \to \infty$ のとき、和の中の分母は ${2 3 + x^{2}}^{2} = 4 (3 + x^{2})$ に対応する。したがってこれはリーマン和として $3 π \int_{0}^{1} \frac{d x}{4 ( 3 + x ^{2} )}$ に収束する。よって $lim_{n \to \infty} n S_{n} = \frac{3 π}{4} \int_{0}^{1} \frac{d x}{3 + x ^{2}}$ である。(2)の積分値を用いて

n \to \infty lim n S_{n} = \frac{3 π}{4} \cdot \frac{π}{6 3} = \frac{π ^{2}}{8 3}

である。

東北大学 2012年度後期・理系数学 後期 第6問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

東北大学 2012年度
後期・理系数学後期第6問